②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝∵PB2＝4，BE?BD＝∴∴∴
＝＝
×4
，连接EC，作EF⊥BC于F．
＝4，∴BP2＝BE?BD，
，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP， ＝
，∴PE＝
PD，
PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），
，
∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝∴
PD+4PC的最小值为10
．故答案为5，10
．
1例题4. 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD?PC的
2最大值为_______．
ADPBC
31【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造PC，在BC上取M使得此时PM=，
221则在点P运动的任意时刻，均有PM=PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，
2PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值
AAA15． 2DADDDPPBPMCBMCBMCBMCP
- 6 -
变式练习>>>
4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣
的最大值为 ．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+
的最小值为 ，PD﹣
的最大值为 ．
图1 图2
【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4． ∵∴
＝＝，＝
＝＝，
，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP， ∴
＝
＝，∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG， ∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝故答案为，
（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F． ∵∴
＝＝2，＝
＝＝2，
． ＝
．
，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP， ∴
＝
＝，
∴PG＝PC， ∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
- 7 -
在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4， ∴DF＝CD?sin60°＝2，CF＝2， 在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝故答案为
，
．
．
例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣
1x﹣62交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求
1AM+CM它的最小值． 2
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上， ∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4； （2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，
∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4， 设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4）， ∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）； （3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4）， ∵直线AC：y=﹣
11x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p）， 22∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形， ∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣∴AB⊥AC，∴EF为对角线，
1x﹣6， 2 - 8 -
∴
11111（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6）， 22222∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）； ②如图2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4）， ∴EH=5，AE=25，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=
，
5， 25ME511PEME1PE∴=，∴=， ???2=，∵
22MEAE2AEME255PEME1∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴=， ?MEAE211∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），
22∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，
55，∴5（p+2）2=， 24535∴p=?或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（?，﹣1），
222∵PE=
∵C（0，﹣6），∴PC=
变式练习>>>
5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式； （2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若
＝，求m的值；
=55551，即：AM+CM=． 222（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．
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【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0， ∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，
∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0）， ∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，则∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．
（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴∵NE∥OB，∴
＝
，∴AN＝（4﹣m），
＝，
，解得
，
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，
∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴
＝，解得m＝2．
（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE． ∵OE′＝2，OM′?OB＝×3＝4， ∴OE′2＝OM′?OB， ∴
＝
，∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB， ∴
＝
＝，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小 （两点间线段最短，A、M′、E′共线时）， 最小值＝AM′＝
＝
．
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中考数学几何模型之阿氏圆最值模型(解析版)
