中考数学几何模型:阿氏圆最值模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
在前面的“胡不归”问题中,我们见识了“kPA+PB”最值问题,其中P点轨迹是直线,而当P点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题.
【模型来源】
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”.
PABO
【模型建立】
如图 1 所示,⊙O 的半径为R,点 A、B 都在⊙O 外 ,P为⊙O上一动点,已知R=连接 PA、PB,则当“PA+
2OB, 52PB”的值最小时,P 点的位置如何确定? 5
解决办法:如图2,在线段 OB 上截取OC使 OC=故本题求“PA+
22R,则可说明△BPO与△PCO相似,则有PB=PC。552PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值,其中与A与C为定点,P为动点,故当 A、5P、C 三点共线时,“PA+PC”值最小。
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【技巧总结】
计算PA?kgPB的最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题:在圆上找一点P使得PA?kgPB的值最小,解决步骤具体如下: 1. 如图,将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB
OP?k OBOCPC3. 在OB上取一点C,使得?k,即构造△POM∽△BOP,则?k,PC?kgPB
OPPB2. 计算出这两条线段的长度比
4. 则PA?kgPB=PA?PC?AC,当A、P、C三点共线时可得最小值
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典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心,2为半径作圆C,分别交AC、BC
1于D、E两点,点P是圆C上一个动点,则PA?PB的最小值为__________.
2AADPDPMBCECB
1【分析】这个问题最大的难点在于转化PA,此处P点轨迹是圆,注意到圆C半径为2,CA=4,
2连接CP,构造包含线段AP的△CPA,在CA边上取点M使得CM=2,
1连接PM,可得△CPA∽△CMP,故PA:PM=2:1,即PM=PA.
2问题转化为PM+PB≥BM最小值,故当B,P,M三点共线时得最小值,直接连BM即可得13.
变式练习>>>
1.如图1,在RT△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点P为圆上一动点,连接AP,BP, 求①AP?11BP,②2AP?BP,③AP?BP,④AP?3BP的最小值. 23
[答案]:①=37,②=237,③=
237,④=237. 3 - 3 -
OB?例题2. 如图,点C坐标为(2,5),点A的坐标为(7,0),⊙C的半径为10,点B在⊙C上一动点,
的最小值为________.
5AB5
[答案]:5.
变式练习>>>
2.如图,在平面直角坐标系xoy中,A(6,-1),M(4,4),以M为圆心,22为半径画圆,O为原点,P是⊙M上一动点,则PO+2PA的最小值为________.
[答案]:10.
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例题3. 如图,半圆的半径为1,AB为直径,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为的最小值.
上一动点,求PC+PD
【解答】解:如图当A、P、D共线时,
PC+PD最小.理由:
连接PB、CO,AD与CO交于点M,
∵AB=BD=4,BD是切线,∴∠ABD=90°,∠BAD=∠D=45°, ∵AB是直径,∴∠APB=90°, ∴∠PAB=∠PBA=45°,∴PA=PB,PO⊥AB,
∵AC=PO=2,AC∥PO,∴四边形AOPC是平行四边形, ∴OA=OP,∠AOP=90°,∴四边形AOPC是正方形, ∴PM=
PC,∴
PC+PD=PM+PD=DM, PC+DP最小=AD﹣AM=2
﹣
=
.
∵DM⊥CO,∴此时
变式练习>>>
3.如图,四边形ABCD为边长为4的正方形,⊙B的半径为2,P是⊙B上一动点,则PD+PC的最小值为 5 ;
PD+4PC的最小值为 10 .
【解答】解:①如图,连接PB、在BC上取一点E,使得BE=1. ∵PB2=4,BE?BC=4,∴PB2=BE?BC,∴∴△PBE∽△CBE,∴
=
=
,∵∠PBE=∠CBE,
=,∴PD+PC=PD+PE,
=5,
∵PE+PD≤DE,在Rt△DCE中,DE=∴PD+PC的最小值为5.
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中考数学几何模型之阿氏圆最值模型(解析版)
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