中考数学几何模型：阿氏圆最值模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【模型来源】
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
PABO
【模型建立】
如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R=连接 PA、PB，则当“PA+
2OB， 52PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 5
解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=故本题求“PA+
22R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。552PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、5P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
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【技巧总结】
计算PA?kgPB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得PA?kgPB的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
OP?k OBOCPC3. 在OB上取一点C，使得?k，即构造△POM∽△BOP，则?k，PC?kgPB
OPPB2. 计算出这两条线段的长度比
4. 则PA?kgPB=PA?PC?AC，当A、P、C三点共线时可得最小值
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典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC
1于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则PA?PB的最小值为__________．
2AADPDPMBCECB
1【分析】这个问题最大的难点在于转化PA，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，
2连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，
1连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=PA．
2问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得13．
变式练习>>>
1．如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP， 求①AP?11BP，②2AP?BP，③AP?BP，④AP?3BP的最小值. 23
[答案]：①=37，②=237，③=
237，④=237. 3 - 3 -
OB?例题2. 如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为10,点B在⊙C上一动点，
的最小值为________.
5AB5
[答案]：5.
变式练习>>>
2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，22为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为________.
[答案]：10.
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例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为的最小值．
上一动点，求PC+PD
【解答】解：如图当A、P、D共线时，
PC+PD最小．理由：
连接PB、CO，AD与CO交于点M，
∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°， ∵AB是直径，∴∠APB＝90°， ∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，
∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形， ∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形， ∴PM＝
PC，∴
PC+PD＝PM+PD＝DM， PC+DP最小＝AD﹣AM＝2
﹣
＝
．
∵DM⊥CO，∴此时
变式练习>>>
3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为 5 ；
PD+4PC的最小值为 10 ．
【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1． ∵PB2＝4，BE?BC＝4，∴PB2＝BE?BC，∴∴△PBE∽△CBE，∴
＝
＝
，∵∠PBE＝∠CBE，
＝，∴PD+PC＝PD+PE，
＝5，
∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝∴PD+PC的最小值为5．
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中考数学几何模型之阿氏圆最值模型(解析版)
