导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limf?x??0 及limg?x??0；(2)在点
x?ax?aa的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)limx?af??x??l，那么 g??x?f??x?=limlim?l。
x?ag?x?x?ag??x?
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)limf?x??0 及limg?x??0； (2)?Af0，
x??x??f?x?f??x?f(x) 和g(x)在???,A?与?A,???上可导，且g'(x)≠0； (3)lim?l，那么
x??g??x?f??x?=limlim?l。
x??g?x?x??g??x?
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) limf?x???及limg?x???； (2)在点
x?ax?af?x?f??x?a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)lim?l，那么
x?ag??x?limx?af?x?g?x?=limx?af??x??l。 g??x?
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x?a，x?a洛必达法则也成立。
0?0?0
2.洛必达法则可处理，，0??，1，?，0，???型。
0?
0?0?0
3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，0??，1，?，0，???型定
0?式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
??
1
二．高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数f(x)?ex?1?x?ax2。（1）若a?0，求f(x)的单调区间；（2）若当x?0时f(x)?0，求a的取值范围
解:（II）当x?0时，f(x)?0，对任意实数a,均在f(x)?0；当x?0时，f(x)?0等价于
a?ex?x?1x2令
xg?x??ex?x?1x2(x>0),
x则
xg?(x)?xe?2e?x?2xxxx3，令
h?x??xe?2e?x?2?x?0?，则h??x??xe?e?1，h???x??xe?0，
知h??x?在?0,???上为增函数，h??x??h??0??0；知h?x?在?0,???上为增函数，
xh?x??h?0??0；?g??x??0，g(x)在?0,???上为增函数。由洛必达法则知，
limx?0?ex?x?1x211?1??lime?lime?，故a?综上，知a的取值范围为???,?。
22?2?x?0?2xx?0?2xx
2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
x?2y?3?0。（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?取值范围。
2xlnx?1恒成立。 21?xx2?1?lnx?x2?1?2xlnx令g (x)= ， ?1(x?0,x?1),则g??x??2?2221?x?1?x?lnxk?，求k的x?1x解：（II）由题设可得，当x?0,x?1时，k<
再令
h?x???x2?1?lnx?x2?1(
x?0,x?1)，则
h??x??2xlnx?1?xx，
h???x??2lnx?1?11??，易知在?0,???上为增函数，且h???1??0；故当hx?2lnx?1???22xxx?(0,1)时，h???x??0，当x?（1，+?）时，h???x??0；
?h??x?在?0,1?上为减函数，在?1,???上为增函数；故h??x?>h??1?=0
?h?x?在?0,???上为增函数Qh?1?=0?当x?(0,1)时，h?x??0，当x?（1，+?）时，
h?x??0?当x?(0,1)时，g??x??0，当x?（1，+?）时，g??x??0
?g?x?在?0,1?上为减函数，在?1,???上为增函数
2
洛必达法则知limg?x??2limx?1x?1xlnx1?lnx?1??1?2?1?2?????1?0 lim2?2x1?x?2?x?1?k?0，即k的取值范围为（-?，0]
3.已知函数f(x)=x－(1+a)lnx在x=1时，存在极值。（1）求实数a的值；（2）若x>1，
f（x)-1mlnx>成立,求正实数m的取值范围
x-1
解：mlnx?x?lnx?1x?lnx?1(x?1)lnx11?m?????=g（x）
x?1(x?1)lnx(x?1)lnx(x?1)lnxlnxx?1-1?1g(x)?(lnx）+（x-1),则g?(x)?-221x?lnx?221?(x?1)2=
x(lnx)2?(x?1)2,x(x?1)(lnx)2令
h(x)=x(lnx)?(x?1) h?(x)?(lnx)?2lnx?2x?2,令r(x)?h?(x），则r?(x)?M（x）=r(x)，
2lnx?2?2x，令
x?x)=M（不
存
2-2x<0,则，r(x)为减，且r(1)=0,则h（x）为减，且h(1)=0,则g(x)为减，这样，g(x) ， 对 g(x) 在 x=1 处 用 罗 比 达 法 则 ， g(x)?lim x?1?lnx1?1/xx?1111?lim?lim?lim??，则m》1/2. x?1(x?1)lnxx?1x?1x?1xlnx?x?1x??lnx?1?1ln1?22lnx?x4.已知函数 f(x)=ex,曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线为y=g(x). (1) 证明：对于?x?R，f(x)?g(x); (2) 当x?0时，f(x) ?1+ ax,恒成立，求实数1?xa的取值范围。 ex(1?x)?(1?x)ex(x2?x?1)?1解：分离变量：a?=h(x),去导数，h?(x)=（x>0），分 xx2x2子r(x)=e(x?x?1)?1,(x?[0, ?)，扩展定义域]，求导r?(x)?e(x?3x）?0，可知，r(x) x2为定义域内增函数，而r（x）?r(0)=0.所以h?(x)》0.为增函数。则a?h(0)----不存在，罗比达法则可得为1 练习 1. 2006年全国2理 设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围． 3
(完整版)利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题
