3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
一．知识导学：
(1)S(2)C(3)T
2α
αα
：sin 2α＝__________，sin cos ________________
22
；
；
2α
：cos 2α＝ _____________ ＝______________ ＝ ______________ ：tan 2α＝ __________________ .
2α
二．探究与发现【探究点一】
二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导
α的三角函数表示
2α的三角函数的公式．根据前
问题1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用
吗？试一试？
面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式
问题2 根据同角三角函数的基本关系式2α？
sinα＋cosα＝1，你能否只用
22
sin α或cos α表示cos
【探究点二】余弦的二倍角公式的变形形式及应用
cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα变形较多，应用灵活．其2
，cosα＝
2
2
2
2
2
二倍角的余弦公式中sinα＝
2
2
1－cos 2α1＋cos 2α
2
称作降幂公式，
1－cos α
2α1＋cos α
＝sin，＝
22
2
α
cos称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．
2练习1：函数f(x)＝
3sin xcos x＋cosx－的最小正周期是________．
2
2
1
【探究点三】三倍角公式的推导
1
因为3α＝2α＋α，可以借助二倍角公式推导出三倍角公式．请完成三倍角公式的证明：(1)sin 3
α＝3sin α－4sinα；(2)cos 3α＝4cosα－3cos α.
3
3
【典型例题】
例1 求下列各式的值：
5π
(1)coscosπ； (2)
1
－cos15°．
2
2
跟踪训练1 －1)．
例2 求证：跟踪训练2 1212
求值：(1)cos 20°·cos 40°·3－4cos 2A＋cos 4A3＋4cos 2A＋cos 4A
＝tan4
A.
化简：
1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ
.
cos 80°；33
(2)tan 70°·cos °·（3tan 20°
2
10π45π7πsin 2x－2sinx2
例3. 若cos4－x＝－5，4 4 ，求三、巩固训练：1．化简： sin 3αcos 3αsin α －cos α 等于 ( ) A．2 B．1 C． 122．sin4 π4π 12－cos12 等于 （ ）A．－ 12B．－ 3 2C． 12 3. tan 7.5°1－tan2 7.5° ＝________. 1＋tan x 的值cos 2xπ 的值． cos4 ＋xD．－1 D. 32 3 π2 4．已知cosx－＝，则sin 2x 410 四、课堂小结： 1．对“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二 3ααααα2·α 倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)． 224362n2n＋12．二倍角的余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式： 1＋cos 2α1－cos 2α22 ①1＋cos 2α＝2cosα，②cosα＝，③1－cos 2α＝2sinα，④sinα＝ 22 2 2 4
高中数学必修四3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学案新人教A版必修4
