第四章 三角函数、解三角形
第七节 解三角形的综合应用
A级·基础过关|固根基|
1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° C．南偏东80°
B．北偏西10° D．南偏西80°
解析：选D 由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )
A．152 km C．452 km 解析：选B
B．302 km D．602 km
如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°， 所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.
60BM在△AMB中，由正弦定理，得＝，
sin 45°sin 30°解得BM＝302，故选B.
3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h C．234 km/h
B．62 km/h D．10 km/h
解析：选B 设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，21?2?10.6340.611??sin θ＝＝，从而cos θ＝，t＝＝(h)，所以由余弦定理得?10v?＝?10×2?＋12－2×
155610104
×2×1×，解得v＝62.
5
4．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )
A．5 km C．53 km
解析：选C 作出示意图(如图)，
B．10 km D．52 km
点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，∠BAC＝60°－30°＝30°，∠B＝120°，AC＝15.
1
15×
215BC
由正弦定理，得＝，即BC＝＝53，
3sin 120°sin 30°
2即这时船与灯塔的距离是53 km.
5．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角．前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为( )
A．50(3＋1) m C．502 m
B．100(3＋1) m D．1002 m
解析：选A 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200 m，由正弦定理，得BC＝
200×sin 30°sin 45°
＝1002(m)，所以河的宽度为BCsin 75°＝1002×
2＋6
＝50(3＋1)(m)． 4
6．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是________ n mile.
解析：如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°， ABBC
由正弦定理，得＝，
sin Csin A
AB·sin A10×sin 60°
所以BC＝＝＝56(n mile)．
sin Csin 45°
答案：56
7．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________．
解析：
如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点， 则CD为所求河的宽度． 在△ABC中，
因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， 所以∠ACB＝75°， 所以AC＝AB＝120 m.
在Rt△ACD中，CD＝ACsin ∠CAD＝120×sin 30°＝60(m)，
2021届高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第7节解三角形的综合应用跟踪检测文含解析.doc
