本科一级考生做????1dxdydz
x2?y2?z2本科二级考生做????x2?y2?z2?dxdydz
?七（10分）本科一级考生做1）设幂级数?an2xn的收敛域为??1,1?，求证幂级
n?1?数?annx的收敛域也为??1,1?；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给n?1n?出证明；若不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数?n2nx?1的收敛域与和函数 ??n2n?1?2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）
一.填空（每题5分，共40分）
?1222n2?1.lim?32?3?L?3? 22?n??n?1n?2n?n??2. lim?3. limx???xx?001?t2e?1dt? 3x???x2?3x?2?ax?b?0，则a,b? ?4.f?x???1?x?x2?esinx,f???0?? 5. 设由x?zey?z确定z?z(x,y)，则dz?e,0?? 6.函数f?x,y??e?x?ax?b?y2?中常数a,b满足条件 时，
f??1,0?为其极大值. 7.交换二次积分的次序?dx?112ex?ef?x,y?dy? .
x8.设D:2x?x2?y2,0?y?x?2，则??D2??ax?bsinx?c二.（8分）设f?x?????ln?1?x?1x?y22dxdy?
x?0x?0，试问a,b,c为何值时，f?x?在x?0处一阶导数连续，但二阶导数不存在.
三.（9分）过点?1,5?作曲线?:y?x3的切线L，（1）求L的方程；（2）求?与L所围成平面图形D的面积；（3）求图形D的x?0部分绕x轴旋转一周所得立体的体积.
四（8分）设f(x)在???,???上是导数连续的函数，f?0??0，f?x??f??x??1， 求证：f?x??ex?1.x??0,??? 五（8分）求?1arctanx0?1?x?2dx
?x?ytan?x2?y2??22六（9分）本科三级做：设f?x,y???x?y?0?证明f?x,y?在点?0,0?处可微，并求df?x,y??0,0??x,y???0,0??x,y???0,0?，
民办本科做：设圆柱面x2?y2?1(z?0)被柱面z?x2?2x?2截下的有限部分为?.为计算曲面?的面积，用薄铁片制作?的模型，A(1,0,5),B(?1,0,1),C??1,0,0?为?上的三点，将?沿线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为?0,5?，写出D的边界的方程，并求D的面积. 七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数f?x,y??x2?2xy?2y2在区域x2?2y2?4上的最大值与最小值. 八（9分）设D为y?x,x??2,y?0所围成的平面图形，求??cos?x?y?dxdy.
D2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题5分，共40分）
???1. f?x?是周期为?的奇函数，且在x?0处有定义，当x??0,?时，
?2????f?x??sinx?cosx?2，求当x??,??时，f?x?的表达式 .
?2?2. lim?sinx??x?2tan2x? nn??n?2?L?2? 3. lim?22?n??n?1n?4n?n??4. f?x??x2ln?1?x?,n?2时f?n??0?? 5. ?6.??ex?1?x??x?e?x2dx?
n? . nn?12?n?1?7.设f?x,y?可微，f?1,2??2,fx??1,2??3,fy??1,2??4，??x??f?x,f?x,2x??， 则???1?? .
?x0?x?18. 设f?x??g?x???，D为???x???,???y???，则
其他?0??f?y?f?x?y?dxdy? .
D二．（10分）设f?x?在?a,b?上连续，f?x?在?a,b?内可导，f(a)?a,，
?baf?x?dx?12b?a2?,求证： ?a,b?内至少存在一点?使得f?????f??????1 ?2三.（10分）设D:y2?x2?4,y?x,2?x?y?4，在D的边界y?x上任取点P,设P到原点距离为t，作PQ垂直于y?x，交D的边界y2?x2?4于Q 1）试将P,Q的距离PQ表示为t的函数； 2）求D饶y?x旋转一周的旋转体的体积
四（10分）已知点P(1,0,-1),Q(3,1,2),在平面x-2y+z=12上求一点M，使
PM+MQ最小 五（10分）求幂级数?n?1?n3n???2??1n?xn的收敛域。
六（10分）设f?x,y?可微，f?1,2??2,fx??1,2??2,fy??1,2??3，
??x??f?f?x,2x?,2f?x,2x??，求???1?.
七（10分）求二次积分?d?????2?1?e?d?
22??022004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
一.填空（每题5分，共40分）
???1. f?x?是周期为?的奇函数，且在x?0处有定义，当x??0,?时，
?2????f?x??sinx?cosx?2，求当x??,??时，f?x?的表达式.
?2?2. x?0时，x?sinx?cosx与cxk为等价无穷小，则c? 3.lim?sinx??x?2tan2x? nn??n?2?L?2? 4. lim?22?n??n?1n?4n?n??5. f?x??x2ln?1?x?,n?2时f?n??0?? 6. ?ex?1?x??x?e?x2dx?
x7. z?arctan,dzy?1,?1?? . ?x0?x?18. 设f?x??g?x???，D为???x???,???y???，则
其他?0??f?y?f?x?y?dxdy? .
D二．（10分）设f?x?在?a,b?上连续，f?x?在?a,b?内可导，f(a)?a,，
?baf?x?dx?12b?a2?,求证： ?a,b?内至少存在一点?使得f?????f??????1 ?2三.（10分）设D:y2?x2?4,y?x,2?x?y?4，在D的边界y?x上任取点P,设P到原点距离为t，作PQ垂直于y?x，交D的边界y2?x2?4于Q 1）试将P,Q的距离PQ表示为t的函数； 2）求D饶y?x旋转一周的旋转体的体积
四（10分）设f?x?在???,???上有定义，f?x?在x?0处连续，且对一切实数x1,x2有f?x1?x2??f?x1??f?x2?，求证：f?x?在???,???上处处连续。
1五（10分）上k为常数，方程kx??1?0在?0,???恰有一个根，求k的取值范
x围。
六（10分）已知点P(1,0,-1),Q(3,1,2),在平面x-2y+z=12上求一点M，使
PM+MQ最小 七（10分）求幂级数?1n的收敛域。 xnnn?1n?3?2??2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题5分，共40分）
ex?e1.limx?0xkx?c?c?0?，则k? ，c? 2. 设f?x?在?1,???上可导，下列结论成立的是 A. 若limf??x??0，则f?x?在?1,???上有界
x???B. 若limf??x??0，则f?x?在?1,???上无界
x???C. 若limf??x??1，则f?x?在?1,???上无界
x???3. 设由e?y?x?y?x??1?x确定y?y(x)，则y???0?? 4.??arcsinx?arccosx?dx?
?z?x2?y25. 曲线?2，在点?1,1,2?的切线的参数方程为 2?x?y?2y?y?6.设z?f???g?ex,siny?，f有二阶连续导数，g有二阶连续偏导数，
?x??2z? 则
?x?y7. 交换二次积分的次序?dx?2f?x,y?dy? .
0x13?x
江苏省高等数学竞赛试题汇总
