2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.limsinx?sin(sinx)? x?0sinxln(x?1?x2)/y? 2.y?，21?x3.y?cos2x，y(n)(x)? 4.?5.?1?xxedx? 2x??21dx? 41?x2x?2y?z?2?0??6.圆?2的面积为 22??x?y?z?4x?2y?2z?19x7.z?f(2x?y,)，f可微，f1/(3,2)?2,f2/(3,2)?3，则dzy(x,y)?(2,1)? 1?(?1)nn!8.级数?的和为 . n2n!n?1?二.（10分）
设f(x)在?a,b?上连续，且b?f(x)dx??xf(x)dx，求证：存在点???a,b?，使
aabb得?f(x)dx?0.
a?三．（10分）已知正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为2，E为D1C1的中点，F为侧面正方形BCC1B1的中点，（1）试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。（2）试求过点A1,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积.
四（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,AB?BC?CD?8,求AB,BC,AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分???cos2x?sin2y?dxdy，其中D:x2?y2?1,x?0,y?0
D?x20?x?1六、（12分）求??x?2y?e?dx?x?1?y?dy，其中?为曲线?22??x?y?2x1?x?2x从O?0,0?到A?1,?1?.
七.（12分）已知数列?an?单调增加，a1?1,a2?2,a3?5,L,an?1?3an?an?1
?1?n?2,3,L?,记xn?a，判别级数?xn的敛散性.
n?1n2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.limsinx?sin(sinx)? x?0sinx2.y?arctanx2?extanx，y/? 3.设由xy?yx确定y?y?x?，则
dy? dx4.y?cos2x，y(n)(x)? 5.?1?xxedx? 2xx6.z?f(2x?y,)，f可微，f1/(3,2)?2,f2/(3,2)?3，则dzy(x,y)?(2,1)? 7设f?u,v?可微，由F?x?z2,y?z2??0确定z?z?x,y?，则8.设D:x2?y2?2x,y?0，则??x2?y2dxdy?
D?z?z?? ?x?y二.（10分）设a为正常数，使得x2?eax对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）设f?x?在?0,1?上连续，且?f(x)dx??xf(x)dx，求证：存在点
0011???0,1?，使得?f(x)dx?0.
0?四.（12分）求广义积分???21dx 1?x4五．（12分）过原点?0,0?作曲线y??lnx的切线，求该切线、曲线y??lnx与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.
六、（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,AB?BC?CD?8,求AB,BC,AD的长，使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分???cos2x?sin2y?dxdy，其中D:x2?y2?1,x?0,y?0
D2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）
一．填空题（每题5分，共40分）
ax+2xp1.a= ，b= 时，limarctanx=-
xbx-x22. a= ，b= 时f(x)=ln(1-ax)+关于x的无穷小的阶数最高。
3.òsin2xcos4xdx=
0p2x在x?0时1+bx4.通过点(1,1,-1)与直线x=t,y=2,z=2+t的平面方程为
?nz2x,则n5.设z=22?yx-y(2,1)=
6.设D为y=x,x=0,y=1围成区域，则蝌arctanydxdy=
D7.设G为x2+y2=2x(y?0)上从O(0,0)到A(2,0)的一段弧，则
ò(yeGx+x)dx+(ex-xy)dy=
￥8.幂级数?nxn的和函数为 ，收敛域为 。
n=1二．（8分）设数列{xn}为x1=3,x2=3-3,L,xn+2=3-3+xn(n=1,2,L)
证明：数列{xn}收敛，并求其极限
三．（8分）设f(x)在[a,b]上具有连续的导数，求证
1maxf(x)?a＃xbb-a蝌f(x)dxabbaf/(x)dx
四．（8分）1）证明曲面S:x=(b+acosq)cosj,y=asinq,z=(b+acosq)sinj
(0＃q2p,0＃j2p)(0 2）求旋转曲面S所围成立体的体积 五．（10分）函数u(x,y)具有连续的二阶偏导数，算子A定义为 A(u)=x抖uu+y, 抖xy1）求A(u-A(u))；2)利用结论1）以x=222抖uu2?ux+2xy+y=0的形式 抖x2x抖yy22y,h=x-y为新的自变量改变方程x六．（8分）求lim+t?01t6蝌dx0ttxsin(xy)2dy 七．（9分）设S:x2+y2+z2=1(z?0)的外侧，连续函数 f(x,y)=2(x-y)2+求f(x,y) 2z2zzx(z+e)dydz+y(z+e)dzdx+(zf(x,y)-2e)dxdy 蝌Sx2(x-3)八．（9分）求f(x)=的关于x的幂级数展开式 (x-1)3(1-3x)2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级） 一.填空（每题5分，共40分） 1.f?x??ax，limx31ln??f?1?f?2?Lf?n???? n??n41??tx?22. lim?5e?1dt? x?00x1arctanxdx? 3. ?022?1?x?4.已知点A??4,0,0?,B(0,?2,0),C(0,0,2),O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面方程为 5. 设由x?zey?z确定z?z(x,y)，则dz?e,0???? 6.函数f?x,y??e?x?ax?b?y2?中常数a,b满足条件 时， f??1,0?为其极大值. 7.设?是y?asinx(a?0)上从点?0,0?到??,0?的一段曲线，a? 时，曲线积分??x2?y?dx?2xy?eydy取最大值. 2???8.级数???1?n?1?n?1n?1?n条件收敛时，常数p的取值范围是 pn二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于?200公里/小时3 ????三.（10分）曲线?的极坐标方程为??1?cos??0????，求该曲线在??所 2?4?对应的点的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积. 四（8分）设f(x)在???,???上是导数连续的有界函数，f?x??f??x??1， 求证：f?x??1.x????,??? 五（12分）本科一级考生做：设锥面z2?3x2?3y2(z?0)被平面x?3z?4?0截下的有限部分为?.（1）求曲面?的面积；（2）用薄铁片制作?的模型， A(2,0,23),B(?1,0,3)为?上的两点，O为原点，将?沿线段OB剪开并展成平 面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程. 本科二级考生做：设圆柱面x2?y2?1(z?0)被柱面z?x2?2x?2截下的有限部分为?.为计算曲面?的面积，用薄铁片制作?的模型， 将?沿线段BC剪开并展成平面图形A(1,0,5),B(?1,0,1),C??1,0,0?为?上的三点， D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为?0,5?，写出D的边界的方程，并求D的面积. ?x2?2z六（10分）曲线?绕z轴旋转一周生成的曲面与z?1,z?2所围成的立体 ?y?0区域记为?，
江苏省高等数学竞赛试题汇总
