_
(?,?)11?222??2?(???1??2??4??51,?1)22,
单位化,有
?21?2(?1??5), ?102?10(?1?2?2?2?4??5), ?13?2(?1??2??3??5),
则?1,?2,?3为V1 的标准正交基。 8. 求齐次线性方程组
??2x1?x2?x3?x4?3x5?0?x1?x2?x3?x 5?0的解空间(作为R5的子空间)的一组标准正交基。 解 由
??x4?3x5??2x1?x2?x3?x5??x 1?x2?x3可得基础解系为
?1?(1,0,0,?5,?1),?2?(0,1,0,?4,?1),?3?(0,0,1,4,1),它就是所求解空间的一组基。将其正交化,可得
?1??1?(1,0,0,?5,?1), ?,?1)2??2?(?2(??11?(?7,9,0,?1,?2)1,?1)9?(?3,?1)3??3?(?,???(?3,?2)?112?(7,6,15,1,2),
11)(?2,?2)15再将?1,?2,?3单位化,可得
,
_
?1?133(1,0,0,?5,?1),?2?1315(?7,9,0,?1,?2),?3?1335(7,6,15,1,2),
则?1,?2,?3就是所求解空间的一组标准正交基。 9.在R[X]4中定义内积为(f,g)=1.?,?,?出发作正交化)。
23解 取R[X]4的一组基为?1?1,?2?x,?3?x,?4?x,将其正交化,可得?1??1?1,
?1?1f(x)g(x)dx 求R[X]4的一组标准正交基(由基
23?2??2?(?2,?1)?1?x,其中(?2,?1)???11x?1dx?0,又因为
(?1,?1)1(?3,?1)?(?2,?2)???1x2dx?12, 31(?1,?1)???11?1dx?2, (?3,?2)???1x2?xdx?0,
所以?3??3?(?3,?1)(?,?)1?1?32?2?x2?,
(?1,?1)(?2,?2)3(?,?)(?4,?1)(?,?)3?1?42?2?43?3?x3?x,
(?1,?1)(?2,?2)(?3,?3)5 同理可得?4??4?再将?1,?2,?3,?4单位化,即得?1?1?1?1?2, 2 ?2?1?2?2?10146(3x2?1),?4?(5x3?3x), ,?3?442x则?1,?2,?3,?4即为所求的一组标准正交基。 10.设V是一n维欧氏空间,??0是V中一固定向量, 1)证明:V1?{x|(x,a)?0,x?V}是V的一个子空间; 2)证明:V1的维数等于n-1。
证 1)由于00?V1,因而V1非空.下面证明V1对两种运算封闭.事实上,任取x1,x2?V1, 则有 (x1,?)?(x2,?)?0,于是又有(x1?x2,?)?(x1??)?(x2??)?0,
所以x1?x2?V1。另一方面,也有 (kx1,?)?k(x1,?)?0, 即kx1?V1。故V1是V的
_
一个子空间。
2)因为??0是线性无关的,可将其扩充为V的一组正交基?,?2,?n,且(?i,?)?0
?i?V1(i?2,3,(i?2,3,?n),
n)。下面只要证明:对任意的??V1,?可以由?2,?3,??n线性表出,则V1的维数就是n?1。
事实上,对任意的??V1,都有??V,于是有线性关系??k1??k2?2???kn?n,且 (?,?)?k1(?,?)?k2(?2,?)???kn(?n,?), 但有假设知 (?,?)?(?i,?)?0(i?1,2,?,n),
所以k1(?,?)?0,又因为??0,故k1?0,从而有??k2?2???kn?n, 再由?的任意性,即证。
11.1)证明:欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。 2)利用上述结果证明:任一欧氏空间都存在标准正交基。
证:1)设?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n是欧氏空间V的两组不同基,它们对应的度量矩阵分别是A?(aij)和B?(bij),另外,设?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵为
??1?c11?1?c12?2???c1n?n?C?(cij),即????????????? ,
???c??c????c?n11n22nnn?nbij?(?i,?j)?(c1i?1???cni?n,c1j?1???cnj?n)
=
?ck?1nnki(?k,c1j?1???cnj?n)
=
??ck?1s?1nnnkisjc(?k,?s)
=
??ck?1s?1kisic?ks,
另一方面,令
D?CA?(dij),CAC?DC?(eij),
'' _
则D的元素为
dis??cki?ks,
k?1n故CAC的元素
'eij??discsj??(?cki?ks)csj?bij(i,j?1,2?,n),
s?1s?1n?1nnn即证CAC?B。再由?1,?2,?,?n;?1,?2,?,?n,皆为V的基,所以C非退化,从而B
'与A合同。
2)在欧氏空间V中,任取一组基?1,?2,?,?n,它的度量矩阵为A?(aij),其中
?ij?(?i,?j),且度量矩阵A是正定的,又因为正定矩阵与单位矩阵合同,即E?C'AC。
于是只要
(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)C,
则由上面1)可知基?1,?2,?,?n的度量矩阵为E ,这就是说,?1,?2,?,?n就是所求的标准正交基。
12.设?1,?2,?,?n是
n
维欧氏空间
V
中的一组向量,而
?(?1,?1)(?1,?2)?(?,?)(?2,?2)???21???(?m,?1)(?m,?2)(?1,?m)??(?2,?m)? ??(?m,?m)?证明:当且仅当??0时?1,?2?,?m线性无关。
证 设有线性关系
k1?1?k2?2???km?m?0, 将其分别与?i取内积,可得方程组
k1(?i,?1)?k2(?i,?2)???km(?i,?m)?0(i?1,2,?,m),
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0,即证。
_
13.证明:上三角的正交矩阵必为对角矩阵,且对角线上元素为+1或-1。 证 设
?a11??A?????q12a22?b11b12?b1n????a1n??b22?b2n??A?1???a2n?为上三角矩阵,则???也是上三???????bnn????ann?角矩阵。由于A是正交阵,所以A?1?A',即
?a11??a12 A?????a?1na22?a2n??b11b12?b1n????b?b??222n?, ?????????????ann??bnn??所以aij?0(i?j),因而
?a11?? A?????a22???2'a?1,AA?E,为对角阵。再由知即证aii?1或-1。 ii???ann??14.1)设A为一个n阶矩阵,且A?0,证明A可以分解成
A=QT,
其中Q是正交矩阵,T是一上三角矩阵
?t11t12?t1n???t?t?222n? T??,
??????tnn???且tii?0(i?1,2?,n),并证明这个分解是唯一的; 2)设A是n阶正交矩阵,证明存在一上三角矩阵T,使 A?TT。
'证 1)设A的n个列向量是a1,a2.?an,由于A?0,因此a1,a2,?,an是线性无关的。从而它们也是V的一组基,将其正交单位化,可得一组标准正交基为
高等代数(北大版)第9章知识题参备考资料答案解析
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