_
(?,?)11?222??2?(???1??2??4??51,?1)22，
单位化，有
?21?2(?1??5)， ?102?10(?1?2?2?2?4??5)， ?13?2(?1??2??3??5)，
则?1,?2,?3为V1 的标准正交基。 8. 求齐次线性方程组
??2x1?x2?x3?x4?3x5?0?x1?x2?x3?x 5?0的解空间(作为R5的子空间)的一组标准正交基。 解 由
??x4?3x5??2x1?x2?x3?x5??x 1?x2?x3可得基础解系为
?1?(1,0,0,?5,?1)，?2?(0,1,0,?4,?1)，?3?(0,0,1,4,1)，它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得
?1??1?(1,0,0,?5,?1)， ?,?1)2??2?(?2(??11?(?7,9,0,?1,?2)1,?1)9?(?3,?1)3??3?(?,???(?3,?2)?112?(7,6,15,1,2)，
11)(?2,?2)15再将?1,?2,?3单位化,可得
，
_
?1?133(1,0,0,?5,?1)，?2?1315(?7,9,0,?1,?2)，?3?1335(7,6,15,1,2)，
则?1,?2,?3就是所求解空间的一组标准正交基。 9.在R[X]4中定义内积为(f,g)=1.?,?,?出发作正交化)。
23解 取R[X]4的一组基为?1?1,?2?x,?3?x,?4?x,将其正交化,可得?1??1?1，
?1?1f(x)g(x)dx 求R[X]4的一组标准正交基(由基
23?2??2?(?2,?1)?1?x，其中(?2,?1)???11x?1dx?0，又因为
(?1,?1)1(?3,?1)?(?2,?2)???1x2dx?12， 31(?1,?1)???11?1dx?2， (?3,?2)???1x2?xdx?0，
所以?3??3?(?3,?1)(?,?)1?1?32?2?x2?，
(?1,?1)(?2,?2)3(?,?)(?4,?1)(?,?)3?1?42?2?43?3?x3?x，
(?1,?1)(?2,?2)(?3,?3)5 同理可得?4??4?再将?1,?2,?3,?4单位化，即得?1?1?1?1?2， 2 ?2?1?2?2?10146(3x2?1)，?4?(5x3?3x)， ，?3?442x则?1,?2,?3,?4即为所求的一组标准正交基。 10.设V是一n维欧氏空间,??0是V中一固定向量, 1)证明:V1?{x|(x,a)?0,x?V}是V的一个子空间； 2)证明:V1的维数等于n-1。
证 1)由于00?V1,因而V1非空.下面证明V1对两种运算封闭.事实上,任取x1,x2?V1, 则有 (x1,?)?(x2,?)?0，于是又有(x1?x2,?)?(x1??)?(x2??)?0，
所以x1?x2?V1。另一方面，也有 (kx1,?)?k(x1,?)?0， 即kx1?V1。故V1是V的
_
一个子空间。
2)因为??0是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基?,?2,?n，且(?i,?)?0
?i?V1(i?2,3,(i?2,3,?n)，
n)。下面只要证明:对任意的??V1,?可以由?2,?3,??n线性表出，则V1的维数就是n?1。
事实上，对任意的??V1，都有??V，于是有线性关系??k1??k2?2???kn?n，且 (?,?)?k1(?,?)?k2(?2,?)???kn(?n,?)， 但有假设知 (?,?)?(?i,?)?0(i?1,2,?,n)，
所以k1(?,?)?0，又因为??0，故k1?0，从而有??k2?2???kn?n， 再由?的任意性，即证。
11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。 2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
证：1）设?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n是欧氏空间V的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是A?(aij)和B?(bij)，另外，设?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的过渡矩阵为
??1?c11?1?c12?2???c1n?n?C?(cij)，即????????????? ，
???c??c????c?n11n22nnn?nbij?(?i,?j)?(c1i?1???cni?n,c1j?1???cnj?n)
=
?ck?1nnki(?k,c1j?1???cnj?n)
=
??ck?1s?1nnnkisjc(?k,?s)
=
??ck?1s?1kisic?ks，
另一方面,令
D?CA?(dij),CAC?DC?(eij)，
'' _
则D的元素为
dis??cki?ks，
k?1n故CAC的元素
'eij??discsj??(?cki?ks)csj?bij(i,j?1,2?,n)，
s?1s?1n?1nnn即证CAC?B。再由?1,?2,?,?n;?1,?2,?,?n,皆为V的基，所以C非退化，从而B
'与A合同。
2）在欧氏空间V中，任取一组基?1,?2,?,?n，它的度量矩阵为A?(aij),其中
?ij?(?i,?j)，且度量矩阵A是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即E?C'AC。
于是只要
(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)C，
则由上面1）可知基?1,?2,?,?n的度量矩阵为E ，这就是说，?1,?2,?,?n就是所求的标准正交基。
12．设?1,?2,?,?n是
n
维欧氏空间
V
中的一组向量，而
?(?1,?1)(?1,?2)?(?,?)(?2,?2)???21???(?m,?1)(?m,?2)(?1,?m)??(?2,?m)? ??(?m,?m)?证明：当且仅当??0时?1,?2?,?m线性无关。
证 设有线性关系
k1?1?k2?2???km?m?0， 将其分别与?i取内积，可得方程组
k1(?i,?1)?k2(?i,?2)???km(?i,?m)?0(i?1,2,?,m)，
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。
_
13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。 证 设
?a11??A?????q12a22?b11b12?b1n????a1n??b22?b2n??A?1???a2n?为上三角矩阵，则???也是上三???????bnn????ann?角矩阵。由于A是正交阵，所以A?1?A'，即
?a11??a12 A?????a?1na22?a2n??b11b12?b1n????b?b??222n?， ?????????????ann??bnn??所以aij?0(i?j)，因而
?a11?? A?????a22???2'a?1，AA?E,为对角阵。再由知即证aii?1或-1。 ii???ann??14．1）设A为一个n阶矩阵，且A?0，证明A可以分解成
A=QT，
其中Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵
?t11t12?t1n???t?t?222n? T??，
??????tnn???且tii?0(i?1,2?,n)，并证明这个分解是唯一的； 2)设A是n阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T，使 A?TT。
'证 1)设A的n个列向量是a1,a2.?an,由于A?0，因此a1,a2,?,an是线性无关的。从而它们也是V的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为
高等代数(北大版)第9章知识题参备考资料答案解析
