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第九章 欧氏空间
1.设??aij是一个n阶正定矩阵,而
????(x1,x2,?,xn), ??(y1,y2,?,yn),
在Rn中定义内积(?,?)?????,
1) 证明在这个定义之下, Rn成一欧氏空间； 2) 求单位向量
?1?(1,0,?,0), ?2?(0,1,?,0), … , ?n?(0,0,?,1)，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
?是Rn上的一个二元实函数，且 (?,?)????解 1)易见
(1) (?,?)??????(????)?????????????(?,?)， (2) (k?,?)?(k?)????k(????)?k(?,?)，
(3) (???,?)?(???)???????????????(?,?)?(?,?)， (4) (?,?)???????ai,jijxiyj，
iji,j由于A是正定矩阵，因此
?axiyj是正定而次型，从而(?,?)?0，且仅当??0时有
(?,?)?0。
2)设单位向量
?1?(1,0,?,0), ?2?(0,1,?,0), … , ?n?(0,0,?,1)，
的度量矩阵为
B?(bij)，则
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?a11??abij?(?i,?j)?(0,?,1,?0)?22(i)???a?n1因此有B?A。
4) 由定义，知
a12a22?an2?0??a1n????????a2n???1(j)=aij，(i,j?1,2,?,n)， ??????????ann???0???(?,?)??aijxiyji,j??(?,?)?，
?axxijii,jj??(?,?)?，?ai,jijyiyj，
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
?axyijii,jj??axx?aijiji,ji,jijyiyj
2.在R中,求?,?之间??,??(内积按通常定义)，设: 1) ??(2,1,3,2), ??(1,2,?2,1)， 2) ??(1,2,2,3), ??(3,1,?5,1)， 3) ??(1,1,1,2), ??(3,2,?1,0)。 解 1)由定义,得
4(?,?)?2?1?1?2?3(?1)?2?1?0，
所以
??,??? 2)因为
?2。
(?,?)?1?3?2?1?2?5?3?1?18， (?,?)?1?1?2?2?2?2?3?3?18， (?,?)?3?3?1?1?2?2?3?3?36，
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cos??,???所以
181836?22，
??,???4。 3)同理可得
?(?,?)?3, (?,?)?17, (?,?)?3, cos??,????1所以??,???cos377，
377。
通常为?,?的距离，证明；
3. d(?,?)???? d(?,?)?d(?,?)?d(?,?)。 证 由距离的定义及三角不等式可得
d(?,?)?????(???)?(???)
????????
?d(?,?)?d(?,?)。
4在R中求一单位向量与?1,1,?1,1?,?1,?1,?1,1?,?2,1,1,3?正交。
4解 设???x1,x2,x3,x4?与三个已知向量分别正交，得方程组
?x1?x2?x3?x4?0??x1?x2?x3?x4?0， ?2x?x?x?3x?0234?1因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令 x3?1?x1?4,x2?0,x4??3，即???4,0,1,?3?。
再将其单位化，则 ??11?4,0,1,?3?， ??a26 _
即为所求。
5．设?1,?2,???n是欧氏空间V的一组基，证明： 1） 如果??V使??,?i??0?i?1,2,??,n?,，那么??0。
2） 如果?1,?2?V使对任一??V有??1,?????2,??，那么?1??2。 证 1)因为?1,?2,???n为欧氏空间V的一组基，且对??V，有
??,?i??0?1,2,??,n? ，
所以可设??k1?1?k2?2???kn?n， 且有
??,?????,k1?1?k2?2????kn?n?
?k1??,?1??k2??,?2?????kn??,?n?即证??0。
2)由题设，对任一??V总有?11????2,????，特别对基?i也有
??11?i????2,?i?，或者??1??2,?i??0?i?1,2,??,n?，
再由1)可得?1??2?0，即证?1??2。
6设?1,?2,?3是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
1?2?1?2?2??3?31?2??2?1??2?2?3?
31?3???1?2?2?2?3?3?1?也是一组标准正交基。 证 因为
91 ???2?1,2?1???2?2,??2?????3,2?3??
9??1,?2??1?2?1?2?2??3,2?1??2?2?3?
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?同理可得
1?4?(?2)?(?2)??0， 9 ??1,?3????2,?3??0， 另一方面 ??1,?1??1?2?1?2?2??3,2?1?2?2??3? 91??4??1,?1??4??2,?2?????3,??3?? 91?(4?4?1)?1， 9同理可得
??2,?2????3,?3??1，
即证?1,?2,?3也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
7.设?1,?2,?3,?4,?5也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基, V1?L??2,?2,?3?，其中 ?1??1??5 , ?2??1??2??4 , ?3?2?1??2??3， 求V1 的一组标准正交基。
解 首先证明?1,?2,?3线性无关.事实上，由
?1??0(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3,?4,?5)?0??0?1??11??0?1其中 A??00??01?10?将正交化，可得
?1??1??1??5，
1?10102??1?1?， ?0?0??2??1?1?的秩为3，所以?1,?2,?3线性无关。 ?0?0??
高等代数(北大版)第9章知识题参备考资料答案解析
