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动态规划与回溯法解决0-1背包问题

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0-1背包动态规划解决问题

一、问题描述:

有n个物品,它们有各自的重量和价值,现有给定容量的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和? 二、总体思路:

根据动态规划解题步骤(问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成)找出01背包问题的最优解以及解组成,然后编写代码实现。 三、动态规划的原理及过程: number=4,capacity=7 i w(重量) v(价值) 1 3 9 2 5 10 3 2 7 4 1 4 原理:

动态规划与分治法类似,都是把大问题拆分成小问题,通过寻找大问题与小问题的递推关系,解决一个个小问题,最终达到解决原问题的效果。但不同的是,分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次,而动态规划则具有记忆性,通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来,在新问题里需要用到的子问题可以直接提取,避免了重复计算,从而节约了时间,所以在问题满足最优性原理之后,用动态规划解决问题的核心就在于填表,表填写完毕,最优解也就找到。

过程:

a) 把背包问题抽象化(X1,X2,…,Xn,其中 Xi 取0或1,表示第i个物品选或不选),Vi表示第i个物品的价值,Wi表示第i个物品的体积(重量); b) 建立模型,即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn); c) 约束条件,W1X1+W2X2+…+WnXn

d) 定义V(i,j):当前背包容量 j,前i个物品最佳组合对应的价值;

e) 最优性原理是动态规划的基础,最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质:不论初始状态和初始决策如何,对于前面决策所造成的某一状态而言,其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。判断该问题是否满足最优性原理,采用反证法证明: 假设(X1,X2,…,Xn)是01背包问题的最优解,则有(X2,X3,…,Xn)是其子问题的最优解,

假设(Y2,Y3,…,Yn)是上述问题的子问题最优解,则理应有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1;

而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn),则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn);

该式子说明(X1,Y2,Y3,…,Yn)才是该01背包问题的最优解,这与最开始的假设(X1,X2,…,Xn)是01背包问题的最优解相矛盾,故01背包问题满足最优性原理; f) 寻找递推关系式,面对当前商品有两种可能性:

第一,包的容量比该商品体积小,装不下,此时的价值与前i-1个的价值是一样的,即V(i,j)=V(i-1,j);

第二,还有足够的容量可以装该商品,但装了也不一定达到当前最优价值,所以在装与不装之间选择最优的一个,即V(i,j)=max{ V(i-1,j),V(i-1,j-w(i))+v(i) }

其中V(i-1,j)表示不装,V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品,背包容量减少w(i)但价值增加了v(i);

由此可以得出递推关系式: 1) j

2) j>=w(i) V(i,j)=max{ V(i-1,j),V(i-1,j-w(i))+v(i) }

number=4,capacity=7 i w(重量) v(价值)

四、构造最优解:

最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解,构造时从第一个物品开始。从i=1,j=c即m[1][c]开始。

1、对于m[i][j],如果m[i][j]==m[i+1][j],则物品i没有装入背包,否则物品i装入背包;

2、为了确定后继即物品i+1,应该寻找新的j值作为参照。如果物品i已放入背包,则j=j-w[i];如果物品i未放入背包,则j=j。

3、重复上述两步判断后续物品i到物品n-1是否放入背包。

4、对于物品n,直接通过m[n][j]是否为0来判断物品n是否放入背包。

只要能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。 首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。

1 3 9 2 5 10 3 2 7 4 1 4 序号 1 2 3 4 Weight 3 5 2 1 Value 9 10 7 4 1 4 4 4 4 2 7 7 7 4 3 11 11 11 4 4 13 11 11 4 5 16 11 11 4 6 20 14 11 4 7 20 17 11 4 从表格中可以看出背包的最大价值value=20,即当X1=1,X2=0,X3=1,X4=1。

五、算法测试代码: #include #include #include #include #include #include using namespace std;

constint c = 8; //背包的容量

constint w[] = {0,3,5,2,1};//物品的重量,其中0号位置不使用。 constint v[] = {0,9,10,7,4};//物品对应的待加,0号位置置为空。 constint n = sizeof(w)/sizeof(w[0]) - 1 ; //n为物品的个数 int x[n+1];

void package0_1(int m[][11],constint w[],constint v[],constint n)//n代表物品的个数 {

//采用从底到顶的顺序来设置m[i][j]的值

//首先放w[n]

for(int j = 0; j <= c; j++)

if(j < w[n]) m[n][j] = 0; //j小于w[n],所对应的值设为0,否则就为可以放置 else m[n][j] = v[n];

//对剩下的n-1个物品进行放置。 inti;

for(i = n-1; i>= 1; i--) for(int j = 0; j <= c; j++) if(j < w[i])

m[i][j] = m[i+1][j];//如果j < w[i]则,当前位置就不能放置,它等于上一个位置的值。否则,就比较到底是放置之后的值大,还是不放置的值大,选择其中较大者。 else

m[i][j] = m[i+1][j] > m[i+1][j-w[i]] + v[i]? m[i+1][j] : m[i+1][j-w[i]] + v[i]; }

void answer(int m[][11],constint n) { int j = c; inti;

for(i = 1; i<= n-1; i++) if(m[i][j] == m[i+1][j]) x[i] = 0; else

{

x[i] = 1; j = j - w[i];

//

}

x[n] = m[i][j] ? 1 : 0; } int main() {

int m[6][11]={0}; package0_1(m,w,v,n); for(inti = 0; i<= 5; i++) {

for(int j = 0; j <= 10; j++) printf(\cout<

answer(m,n);

cout<< \for(inti = 1; i<= 5; i++) cout<< x[i] << \system(\return 0; }

0-1背包回溯法解决问题

动态规划与回溯法解决0-1背包问题

0-1背包动态规划解决问题一、问题描述:有n个物品,它们有各自的重量和价值,现有给定容量的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?二、总体思路:根据动态规划解题步骤(问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成)找出01背包问题的最优解以及解组成,然后编写代码实现。三、动
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