1．我们说，在平面上，已知两个定点A、B，点P为平面上一点， 从点P处观测A、B两点所成的角叫张角．
A
2．若线段AB为定长的线段，点C为线段AB所在的直线外一点， 连接AC，BC，我们称∠ACB为线段AB的张角．AB叫做张角∠ACB 所对的张边．
A
一、 问题的提出： 1．问题的提出：
在平面直角坐标系中，已知A、B两定点，求具有某种属性的点P(如P在某 函数图象上，又或点P的坐标具有某种关系)，使∠APB等于已知角?． A
2．问题解决的方法与步骤：
P下面以点P在某函数y＝f(x)的图象上为例来说明．
特别的，当AB与坐标轴平行时，可构造斜射影相似来解决． (1)以AB∥x轴为例来说明 在射线AB上取点D，使CD?P精品文档
BPBy=f(x)PBy=f(x)PC，则∠ADP＝∠APB tan?ACBD则△APD∽△ABP ，则PA2?AB?AD．
设P(m，f(m))，所以C(m，yA) 所以(m?xA)2?[f(m)?yA]2?(xB?xA)(xD?xA) 解方程可求出m的值，P点可求．
(2)若点线段AB与x轴不平行时怎么办？可以采用以下方法： 方法：过张角的顶点作坐标轴的平行线，构造一线三等角．
y=f(x) P CPEDFαF lααα αD Eα BACAl图(1)图(2)y=f(x)B
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精品文档
如图：过点P作l∥x轴，再分别由A，B向l引垂线，垂足为C，D，在DC延长线上取点E，使
ACBD， 在CD延长线上取点F，使DF?，则∠AEP＝∠BFP＝∠APB． tan?tan?PEAE可证△AEP∽△PFB 则 所以PE?PF?AE?BF ?BFPFCE?设P(m，f(m))，则PE，PF，与AE、BF均可用含m的代数式表示，则方程可解，点P的坐标可解．
3．对问题的解决提出质疑：
以上问题可以过点P作x轴或y轴的平行线l，根据一线三等角创造相似三角形来解决，依然设P(m，f(m))，所以C(m，yA)，所以(m?xA)2?[f(m)?yA]2?(xB?xA)(xD?xA)，解方程可求出m的值，P点可求． P但当y＝f(x)为二次函数或反比例函数时，那么最后所得的方程均为一元高次方程! α4．抛物线上的张角问题
在平面直角坐标系中，已知A、B为抛物线y＝f(x)上的两定点．
B点P在y＝f(x)的图象上，若∠APB等于已知角?，求点P的坐标．
A
显然，如果按照前面的做法去解决，结果会是高次方程，显然不行，因此，我们要寻找其它适合初中数学教学要求的方法．
为解决此问题，我们首先要掌握以下几个问题． 二、 问题准备
1． 解直角三角形的张角对张边的问题
我们都知道，在解三角形的问题中，如果给出三角形的三个要素(不全是角)三角形即可解，但是有些条件的给出(初等方法可解)，如果方法不当解起来就很困难，这里我们仅条件集中在三角形中一个角、这个角所对的边，这个角所对的边上的高解三角形进行研究，我们把此类问题称之为解三角形中的“角对张边问题”．
如图，在△ABC中，∠BAC＝?，AD⊥BC，垂足为D，设BD＝a，CD＝b，求高AD．
AAAABDCBDCBCD
如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC＝45°， 若BD＝3，CD＝2．求AD的长．
思考一．根据图形变换，转换特殊模型．
解法1：把△ABD沿AB翻折得到△ABE，把△ACD沿AC翻折得到 △ACF． ∴△ABE≌△ABD；△ACF≌△ACD． ∴AE＝AD＝AF，BE＝BD＝3，CF＝CD＝2．
∠E＝∠F＝90°，∠BAE＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD， ∴∠EAF＝2∠BAC＝90°，延长EB，FC相交于G，
则四边形AEGF为正方形． 设AD＝x，则BG＝x－3，CG＝x－2．
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BAxDCxE3xFBx-3G3D2Cx-22精品文档
在Rt△BCG中，由勾股定理可得：(x?3)2?(x?2)2?52 ∴x2?5x?6?0，解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6． 解法2：以AD为边作正方形ADEF，过点A作AG⊥AB，交EF于G， ∴△AGF≌△ABD，∴BD＝GF＝2，AG＝AB． ∵∠BAC＝45°，∴∠GAC＝∠BAC，又AC＝AC． ∴△ACG≌△ACB， ∴CG＝BC＝5． 设AD＝x，则EG＝x－3，CE＝x－2，
在△Rt△CEG中，由勾股定理得：(x?3)2?(x?2)2?52 B∴x?5x?6?0，解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6． 解法3：在射线DB上取点E，使DE＝AD，在射线DC上取点F， 使DF＝AD．则AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝45°，∠EAF＝90°， 把△AEB绕点A旋转，使AE于AF重合，得到△AFG，
∴△AFG≌△AEB，∴FG＝EB，AG＝AB，∠AFG＝∠E＝45°， ∴∠GAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF＝90°，又∠BAC＝45°， ∴∠GAC＝∠BAC， ∴△ACG≌△ACB，∴CG＝BC＝5，
45°设AD＝x，则FG＝x－3，CF＝x－2．
BE222在Rt△CED中，由勾股定理得：(x?3)?(x?2)?5
∴x2?5x?6?0，解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6． 思考二：构造一线三等角(M型)
解法5：在BC的延长线上取点E，使CE＝AD，过点E作 EF⊥CE，使EF＝CD，连接AF，∴△CEF≌△ADC，
∴AC＝FC，∠CAF＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAF＝90°， 连接BF，由勾股定理可得：AB2?AF2?BF2， BE2?EF2?BF2，∴AB2?AF2?BE2?EF2， B222222设AD＝x，则BE＝x＋5，∴(x?3)?2(x?2)?(x?5)?2 ∴x2?5x?6?0，解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6． 解法7：过点B作BE⊥AB，交AC的延长线于E，过点E 作EF⊥BC，垂足为F，由上题可证△EBF≌△BAD． ∴EF＝BD＝3，∵SABE?SABC?SEBC，
A2AFGDCEAG45°DCFFDCEA111AB2?AD?BC?EF?BC， 222设AD＝x，∴x2?32?5(x?3) ∴x2?5x?6?0，
∴
解得：x＝6或x＝－1(舍去)，∴AD＝6．
解法8：过点A作BC的平行线，由B，C向该平行线引垂线， 垂足为E，F．则BE＝AD＝CF，AE＝BD＝3，AF＝CD＝2． 在AE的延长线上截取EG＝BE，在AF的延长线上截取
GFN＝CF．∴BG＝CN＝2AD，∠G＝∠N＝45°， ∴∠G＝∠BAC＝∠N， ∴△AGB∽△CNA，∴
BDCFEEAFNAGBG?， CNAN∴AG?AN?BG?CN, 设AD＝x，则BG＝CN＝2x， AG＝x＋3，AN＝x＋2，
∴(x＋3)(x＋2)＝(2x)2 ∴x2?5x?6?0， 解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6．
思考三：把AD看作是绕A旋转的直线，构造旋转相似．
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解法12．在射线DC上截取DE＝AD，连接AE，延长AD到F，
A使DF＝BD＝3．∴BF＝32，∠F＝∠E＝45°，又∠BAF＝∠CAE， ∴△BAF∽△CAE，∴
AFBF，∴AF·CE＝BF·AE， ?AECE设AD＝x，则AE＝2x，AF＝x＋3，CE＝x－2， ∴(x?3)(x?2)?32?2x，∴x2?5x?6?0， 解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6． 思考四：利用三角形外接圆：
解法13：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC． 过点O作OE⊥BC，垂足为E．
∴OA＝OB＝OC，∠BOC＝2∠BAC＝90° ∴OE?BDCEFA52151，DE?． BC?，OA?OB?2222OF过点O作OF⊥AD，垂足为F，∴DE?由勾股定理可得：AF?15，DF?, 22BEDC7，∴AD＝6． 2A思考六：构造斜射影相似
解法15．在射线DC上截取DE＝AD，连接AE． ∴∠E＝45°＝∠BAC，又∠ABE＝∠CBA， ∴△ABE∽△CBA， ∴
ABBE ∴AB2?BC?BE ?BCABBDCE设AD＝x，则BE＝x＋3，∴x2?32?5(x?3)．
∴x2?5x?6?0，解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6．
二、 抛物线上的张角问题
在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y＝f(x)上的两定点，点P在y＝f(x)的图象上，若∠APB等于已知角?，求点P的坐标． C方法与步骤：
第一步；过已知点A作y轴的平行线，与直线BP相交于点C，
PD构造“于涵定理”．根据“于涵定理”指引我们可求出的值．
AC第二步：解张角三角形，求出∠PAC的函数值． 在△PAC中，∵∠APC已知(∠APB已知)．
DEAPBPD的值已知，根据 AC斜射影可求出PD、CD、AD的比，进而求出∠PAC的函数值． 第三步：利用∠PAC的函数值求出点的坐标． 2． 二次函数中的“于涵定理” (一) 如何使“于涵定理”合法化 第一：当直线AB平行于x轴时，
设二次函数为y?a(x?h)2?k，则P(x，a(x?h)2?k)
设A(m，a(m?h)2?k)，利用对称轴可得：B(2h－m，a(x?h)2?k)， A.
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PC[a(x?h)2?k]?[a(m?h)2?k]∴??a AD?BE(x?m)(2h?m?x)第二：当直线AB与二次函数的一个交点已知时，设A(m，n) 在二次函数为y?ax2?bx?c的图象上，过点A的直线交二次 函数于另一点B，则直线AB为y?k(x?m)?n， 二次函数为y?a(x2?m2)?b(x?m)?n
PEADCBam?b?k则(x?m)(ax?am?b?k)?0，∴x?，
aPC即B点坐标可求，进而通过计算可得到?a．
AD?BE
如图，直线AB与二次函数y?ax2?bx?c相交于A、B两点，点P为二次函数图象上一点，过点P作y轴的平行线交直线AB于C，分别过A、B向PC引垂线，垂足为D、E．则PC＝AD·BEa，也可写成
PC?a．
AD?BEPC?a
AD?BE特别的，当AB∥x轴时，则PC?AC?BCa，也可写出
CPEADCBABEDPAPABBCCP
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抛物线上的张角问题 - 图文
