初中数学竞赛专题辅导-因式分解(一)
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8).
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x. 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8).
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3. 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8). 解法4 添加两项-x2+x2. 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8).
说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.
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例5 分解因式: (1)x9+x6+x3-3; (2)(m2-1)(n2-1)+4mn; (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4; (4)a3b-ab3+a2+b2+1. 解 (1)将-3拆成-1-1-1. 原式=x9+x6+x3-1-1-1 =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1) =(x3-1)(x6+2x3+3) =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3). (2)将4mn拆成2mn+2mn. 原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1). (3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2. 原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=[(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
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=[(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2 =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3). (4)添加两项+ab-ab. 原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1) =a(a-b)[b(a+b)+1]+(ab+b2+1) =[a(a-b)+1](ab+b2+1) =(a2-ab+1)(b2+ab+1).
说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验. 3.换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰. 例6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12.
分析 将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了. 解 设x2+x=y,则
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
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=(x-1)(x+2)(x2+x+5).
说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试. 例7 分解因式:
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.
分析 先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合. 解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90. 令y=2x2+5x+2,则 原式=y(y+1)-90=y2+y-90 =(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础. 例8 分解因式:
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.
解 设x2+4x+8=y,则 原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x) =(x2+6x+8)(x2+5x+8)
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=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).
说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式. 例9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6. 解法1 原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2
=6[(x4-2x2+1)+2x2]+7x(x2-1)-36x2 =6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2 =6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2 =[2(x2-1)-3x][3(x2-1)+8x] =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).
说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体. 解法2
原式=x2[6(t2+2)+7t-36]
=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)
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