华南农业大学期末考试试卷（A卷
）
2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学AⅡ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
题号 一 二 三 四 总分 得分 评阅人 得分 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数z?ln(y2?2x?1)的定义域为 。
b?(4,?1,10)，c?b??a，2. 设向量a?(2,1,2)，且a?c，则?? 。
3．经过(4,0,?2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为 。
4．设u?xyz，则du? 。 5．级数?(?1)nn?1?1，当p满足 条件时级数条件收敛。 pn得分 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．微分方程2(xy?x)y'?y的通解是
（ ）
A．y?Ce2x B．y2?Ce2x C．y2e2y?Cx D．e2y?Cxy
2．求极限lim2?xy?4?
(x,y)?(0,0)xy（ ）
A． B．? C．? D． 3．直线L:?x3yz?和平面?:3x?2y?7z?8?0的位置关系是 ?2714121412（ ）
A．直线L平行于平面? B．直线L在平面?上 C．直线L垂直于平面? D．直线L与平面?斜交 4．D是闭区域{(x,y)|a2?x2?y2?b2}，则??x2?y2d??
D（ ）
?2?4?A．(b3?a3) B．(b3?a3) C．(b3?a3)
233D．
3?3(b?a3) 25．下列级数收敛的是
（ ）
??11?n1A．? B．?2 C．?
n?1(n?1)(n?4)2n?1n?1n?1n?1?D．?n?1?1
3n(n?1) 得分 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0，y?2的
特解。
2. 计算二重积分??Dx?y22dxdy，其中D?{(x,y)x?y?1,x?y?1}。 22x?y3．设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数，求
?z?z?。 ?x?y4.求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0)，逆时
L针方向。
5. 计算??y51?x2?y6dxdy，其中D是由y?3x，x??1及y?1所围成的
D区域。
(?1)nn1?6．判断级数?的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。 n?1nn?1?7．将函数
1展开成x的幂级数，并求其成立的区间。
(1?x)(2?x)得分 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到
这椭圆的最长与最短距离。
(?1)nnxn2. 求幂级数?的和函数。
n?1(n?1)!?3. 设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)?1，g(0)?0，L为平面上任
意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知
?求f(x)和g(x)。
Lxydx?[yf(x)?g(x)]dy???yg(x)d?，
D华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学AⅡ参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．{(x,y)|y2?2x?1?0} 2．3
3．9y?z?2?0 4．yzxyz?1dx?zxyzlnxdy?yxyzlnxdz 5．0?p?1 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．C 3．C 4．B 5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0，y?2的特解。 解：先求y'?y?0的通解，得y?C?x1e………………2分
采用常数变易法，设y?h(x)e?x，得y'?h'(x)e?x?h(x)e?x………3分 代入原方程得h'(x)e?x?h(x)e?x?h(x)e?x?ex………………4分 得h(x)?12e2x?C………………5分 故通解为y?12ex?Ce?x………………6分
将初始条件x?0，y?2带入得C?3，故特解为y?1ex?3222e?x…………7分
2. 计算二重积分??x?y22Dx2?y2dxdy，其中D?{(x,y):x?y?1,x?y?1}。 解：设x?rcos?,y?rsin?………………1分 则0????12,sin??cos??r?1………………3分
所以??x?y?21rcos??rsin?22dxdy?Dx?y?0d??12rdr………………5分 sin??cos?r???20(sin??cos??1)d?………………6分
?4??2………………7分 3. 设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数，求
?z?z?x??y。 解：设F(x,y,z)?x?4y?3z?2sin(x?2y?3z)………………1分
Fx?1?2cos(x?2y?3z),Fy??4?4cos(x?2y?3z),Fz?3?6cos(x?2y?3z)………………4分
FF?z2cos(x?2y?3z)?1?z4cos(x?2y?3z)?4……6??x?,??y??xFz3[1?2cos(x?2y?3z)]?yFz3[1?2cos(x?2y?3z)]分 所以
?z?z??1………………7分 ?x?y4. 求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0)，逆时
L针方向。
?解：圆的参数方程为：x?acost,y?asint(0?t?)……………1分
2???(x?y)dx?(x?y)dy??L20(acost?asint)dacost??2(acost?asint)dasint……3
0分
??a2?20(cos2t?sin2t)dt………………4分
?a22?[sin2t?cos2t]0………………6分 2??a2………………7分
（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）
5. 计算??y51?x2?y6dxdy，其中D是由y?3x，x??1及y?1所围成的
D区域。
解：D?{(x,y)|3x?y?1,?1?x?1}………………1分
526526y1?x?ydxdy?dxy1?x?ydy………………2分 3????D?1x1131212621????[(1?x?y)]3xdx………………4分
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