华南农业大学期末考试试卷(A卷
)
2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学AⅡ 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业
题号 一 二 三 四 总分 得分 评阅人 得分 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.二元函数z?ln(y2?2x?1)的定义域为 。
b?(4,?1,10),c?b??a,2. 设向量a?(2,1,2),且a?c,则?? 。
3.经过(4,0,?2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为 。
4.设u?xyz,则du? 。 5.级数?(?1)nn?1?1,当p满足 条件时级数条件收敛。 pn得分 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.微分方程2(xy?x)y'?y的通解是
( )
A.y?Ce2x B.y2?Ce2x C.y2e2y?Cx D.e2y?Cxy
2.求极限lim2?xy?4?
(x,y)?(0,0)xy( )
A. B.? C.? D. 3.直线L:?x3yz?和平面?:3x?2y?7z?8?0的位置关系是 ?2714121412( )
A.直线L平行于平面? B.直线L在平面?上 C.直线L垂直于平面? D.直线L与平面?斜交 4.D是闭区域{(x,y)|a2?x2?y2?b2},则??x2?y2d??
D( )
?2?4?A.(b3?a3) B.(b3?a3) C.(b3?a3)
233D.
3?3(b?a3) 25.下列级数收敛的是
( )
??11?n1A.? B.?2 C.?
n?1(n?1)(n?4)2n?1n?1n?1n?1?D.?n?1?1
3n(n?1) 得分 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0,y?2的
特解。
2. 计算二重积分??Dx?y22dxdy,其中D?{(x,y)x?y?1,x?y?1}。 22x?y3.设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数,求
?z?z?。 ?x?y4.求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy,其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0),逆时
L针方向。
5. 计算??y51?x2?y6dxdy,其中D是由y?3x,x??1及y?1所围成的
D区域。
(?1)nn1?6.判断级数?的敛散性,并指出是条件收敛还是绝对收敛。 n?1nn?1?7.将函数
1展开成x的幂级数,并求其成立的区间。
(1?x)(2?x)得分 四、解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)
1.抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆,求原点到
这椭圆的最长与最短距离。
(?1)nnxn2. 求幂级数?的和函数。
n?1(n?1)!?3. 设函数f(x)和g(x)有连续导数,且f(0)?1,g(0)?0,L为平面上任
意简单光滑闭曲线,取逆时针方向,L围成的平面区域为D,已知
?求f(x)和g(x)。
Lxydx?[yf(x)?g(x)]dy???yg(x)d?,
D华南农业大学期末考试试卷(A卷)
2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学AⅡ参考答案
一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.{(x,y)|y2?2x?1?0} 2.3
3.9y?z?2?0 4.yzxyz?1dx?zxyzlnxdy?yxyzlnxdz 5.0?p?1 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.C 2.C 3.C 4.B 5.A
三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0,y?2的特解。 解:先求y'?y?0的通解,得y?C?x1e………………2分
采用常数变易法,设y?h(x)e?x,得y'?h'(x)e?x?h(x)e?x………3分 代入原方程得h'(x)e?x?h(x)e?x?h(x)e?x?ex………………4分 得h(x)?12e2x?C………………5分 故通解为y?12ex?Ce?x………………6分
将初始条件x?0,y?2带入得C?3,故特解为y?1ex?3222e?x…………7分
2. 计算二重积分??x?y22Dx2?y2dxdy,其中D?{(x,y):x?y?1,x?y?1}。 解:设x?rcos?,y?rsin?………………1分 则0????12,sin??cos??r?1………………3分
所以??x?y?21rcos??rsin?22dxdy?Dx?y?0d??12rdr………………5分 sin??cos?r???20(sin??cos??1)d?………………6分
?4??2………………7分 3. 设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数,求
?z?z?x??y。 解:设F(x,y,z)?x?4y?3z?2sin(x?2y?3z)………………1分
Fx?1?2cos(x?2y?3z),Fy??4?4cos(x?2y?3z),Fz?3?6cos(x?2y?3z)………………4分
FF?z2cos(x?2y?3z)?1?z4cos(x?2y?3z)?4……6??x?,??y??xFz3[1?2cos(x?2y?3z)]?yFz3[1?2cos(x?2y?3z)]分 所以
?z?z??1………………7分 ?x?y4. 求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy,其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0),逆时
L针方向。
?解:圆的参数方程为:x?acost,y?asint(0?t?)……………1分
2???(x?y)dx?(x?y)dy??L20(acost?asint)dacost??2(acost?asint)dasint……3
0分
??a2?20(cos2t?sin2t)dt………………4分
?a22?[sin2t?cos2t]0………………6分 2??a2………………7分
(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)
5. 计算??y51?x2?y6dxdy,其中D是由y?3x,x??1及y?1所围成的
D区域。
解:D?{(x,y)|3x?y?1,?1?x?1}………………1分
526526y1?x?ydxdy?dxy1?x?ydy………………2分 3????D?1x1131212621????[(1?x?y)]3xdx………………4分
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