y?1?当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =?????212?e?x22y?12??dx? ?? =12π(y?1)e?y?14 （3）求Y=| X |的概率密度。
∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0
当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=?∴ Y的概率密度为：
当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0
?当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =???y?y12πe?x22dx ?y?y12πe?x22??dx????2eπ?y22 33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。 ∵ 又 且
Y=g (X )= X 3 是X单调增函数， 1X=h (Y ) =Y3，反函数存在， α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞
β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为： 12 ψ( y)= f [h ( h )]2| h' ( y)| = f(y31?3)?y,???y???,但y?0 3?(0)?0
（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。
?e?x法一：∵ X的分布密度为：f(x)???0x?0x?0 y=x2 Y=x是非单调函数 当 x<0时 y=x2 ? 反函数是x??y 2 当 x<0时 y=x? x?2y y y∴ Y～ fY (y) = f(?y)(?y)??f(y)(y)? － O y x
1??e?0? =?2y?0?y?21ye?y,y?0y?0 法二：Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y) ?? ?0?0??ye?xdx?0?1?e?y,,y?0y?0 ??1e?∴ Y～ fY (y) =?2y?0?y,,y?0.y?0. 34.[三十一] 设X的概率密度为 ?2x?f(x)??π2??00?x?πx为其他 求Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0
当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =?当1 ?0 36.[三十三] 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃) 的概率密度。[已知θ?5(T?32)] 9法一：∵ T的概率密度为f(t)?12?2e?(t?98.6)2?22,???t??? 又 θ?g(T)? T?h(θ)?5(T?32) 是单调增函数。 99θ?32 反函数存在。 5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为 (95θ?32?98.6)42ψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|?12π910πe2???9 581(θ?37)1002 ?e,???θ??? 2 2 法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a σ ) 由于T～N（98.6, 2） 2?5??333?5?2?5160160?5?故 θ?T?~N??98.6?,???2??N?,???2? 9999?9?9?9?????????故θ的概率密度为： ?333??????9??22?(?)?2?1592e?5?2????2?9??910?e?81(??37)1002,??????? 第三章 多维随机变量及其分布 1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： ??0,若第一次取出的是正品X????1,若第一次取出的是次品??0,若第二次取出的是正品Y????1,若第二次取出的是次品,?,? 试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。 解：（1）放回抽样情况 由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或写成 X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=或写成 X Y 0 1 10945?? 12116610210?? 12116621010?? 121166211?? 121166101025 ??1212361025?? 1212362105?? 121236221?? 1212360 25 365 361 5 361 36 0 1 45 6610 6610 661 663.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。 X Y 0 1 2 0 0 0 1 351 0 6 356 352 3 3512 353 353 2 352 350 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=C2C2C71422?1 35P {X=1, Y=1 }=C3C2C2C71412?6 35P {X=1, Y=2 }=C3C2C24C721?6 35P {X=2, Y=0 }=C3C2C72422?3 35P {X=2, Y=1 }=C3C2C2C72411?12 35P {X=2, Y=2 }=C3C2C7342?3 35P {X=3, Y=0 }=C3C24C71?2 35
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