223同理： 1?1?1?1?7?1? P(X?3)?3?????3????????4?4?44464????1?1? P(X?4)????464??E(X)?1?37197125 ?2??3??4??64646464163 故 5.[五] 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为
1?x,0?x?1500?(1500)2???1f(x)??(x?3000),1500?x?1500 2(1500)?其他?0??求E (X) 解：E(X)????????15000xf(x)dx
x(1500)2x?dx??30001500x?(3000?x)(1500)2dx ?1(1500)233?x15001x?30002 ?1500x??2?3301500(1500)???1500(分)6.[六] 设随机变量X的分布为
求 E (X)， E (3X2+5) 解：
E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 E (3X+5) = 3E (X)+ E (5)= 8.4+5=13.4
2
2
X Pk
－2 0.4
0 0.3
2 0.3
7.[七] 设随机变量X的概率密度为
?e?x,x?0f(x)??
?0,x?0
求（1）Y=2X
解：（1）E(y)?（2）Y=e
??－2x
的数学期望。
?????2xf(x)dx??02xe?xdx
???2xe?x?2e?x?????0?2
（2）E(Y)????e?2xf(x)dx????0e?2xe?xex
??1?3x?1 e?3308.[八] 设（X，Y）的分布律为 X Y －1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1
(1) 求E (X)，E (Y )。 (2) 设Z=Y/X，求E (Z )。 (3) 设Z= (X－Y )，求E (Z)。
解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为
X Y －1 0 1 Z=Y/X pk 1 0.2 0.1 0.1 0.4 －1 0.2 2 0.1 0 0.1 0.2 3 0 0.3 0.1 0.4 0.3 0.4 0.3 1 0 0.4 1/3 0.1 E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4
=0.4+0.4+1.2=2. E(Y)= (－1)×0.3+0×0.4
+1×0.3=0.
1/2 0.1 1 0.1 （2） 2
－1/2 －1/3 0.1 0 E (Z )= (－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1 = (－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15. （3） Z (X－Y)pk 2 0 1 4 9 16 0 (1-1)2 (1- 0)2或(2-1)2 (2- 0)2或(1- (-1))2或(3-1)2 (3- 0)2或(2-(-1))2 (3-(-1))2 0.1 0.2 0.3 0.4 E (Z )=030.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5 10.[十] 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
?1?1x4?,x?0工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一f(x)??4e?0,x?0?台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢 利的数学期望。
1解：一台设备在一年内损坏的概率为P(X?1)?4?14?14?10e?14xdx??e?x410?1?e?14 故P(X?1)?1?P(X?1)?1?(1?e则
)?e.设Y表示出售一台设备的净赢利 ?(?300?100)??200,(X?1) Y?f(X)??100,(X?1).??14故 E(Y)?(?200)?P(X?1)?100?P(X?1)??200?200e ?300e?14?100e?14 ?200?33.64 11.[十一] 某车间生产的圆盘直径在区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。
解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为
?1?,x?(a,b)f(x)??b?a ?0,其它.?用Y表示圆盘的面积，则Y???12πX,从而 4E(Y)????1π2πxf(x)dx?44?ba(b?a)1ππ222xdx???(a?ab?b).b?a4(b?a)31233
12.[十三] 设随机变量X1，X2的概率密度分别为
?2e?2x,f1(x)???0x?0x?0?4e?4x,x?0f2(x)??
,x?0?0求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3X22)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2) 解：（1）E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)???0x?2e?2xdx???0x?4e?4xdx
=??xe?2x???1?2x???1?4x??113?4x e??xe?e?????24244?0???0?0 （2）E(2X1?3X22)?2E(X1)?3E(X22)?2?1?3?2x?4e2?4xdx =1?3??x2e?4x???x?4x1?4x??35 e?e?1???2888?0111 ??248 （3）E(X1X2)?E(X1)?E(X2)?13.[十四] 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X )
解：引进随机变量Xi???1?0第i号盒装第i号球第i号盒装非i号球
i=1, 2, ? n
n 则球盒对号的总配对数为X?Xi的分布列为
∴
i=1, 2 ?? n
Xi: P: 1 1 n?i?1Xi
0 n?1 n
E(Xi)1 ni=1, 2 ?? n nnE(X)?E(?Xi)?i?1?i?1E(Xi)?n?1n?114.[十五] 共有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。
（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。 解：（1） X P 1 1 n2 n?11? nn?13 n?1n?21?? nn?1n?2??n ??1 n E(X)?1?1111?2???nn?1?2????n??? nnnn2
（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。
设 Xi???i第i次试开能开门?0第i次试开不能开门 i=1, 2 ?? n
n则试开到能开门所须试开次数为X?Xi P i ?i?1Xi
∵
0 n?1 n E (Xi)=i?n?1n?211 ????nn?1n?in1 ni=1, 2??n nni∴ E(X)??E(Xi?1)??i?1i12nn?1 ???????nnnn215. （1）设随机变量X的数学期望为E (X)，方差为D (X)>0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：X*?验证E (X* )=0，D (X* )=1
（2）已知随机变量X的概率密度。
?1?|1?x|,f(x)??,?00?x?2其它,X?E(X)D(X)
求X*的概率密度。 解：（1）E(X*)?E[X?E(X)D(X)]?1D(X)[E(X)?E(X)]?0 ?X?E(X22E D (X* )= E [X*－E (X )* ]]= E (X* )= ?D(X)??)?? ??2 = （2）E(X)?2112E[X?E(X)]??D(X)?1 D(X)DX20?x[1?|1?x|]dx?202?10x[1?(1?x)]dx??21x[1?(1?x)]dx?1 E(X)? ?x[1?|1?x|]dx??10x[1?(1?x)]dx2??2172x[1?(1?x)]dx?6
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