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概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)
浙大第四版(高等教育出版社) 第一章 概率论的基本概念
1.[一] 写出下列随机试验的样本空间
(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一] 1)
n?100??o1S??,???,n表小班人数 n?nn?(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。([一] 2)
S={10,11,12,???,n,???}
(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。 ([一] (3))
S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,} 2.[二] 设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。 (1)A发生,B与C不发生。 表示为: ABC或A- (AB+AC)或A- (B∪C) (2)A,B都发生,而C不发生。 表示为: ABC或AB-ABC或AB-C
(3)A,B,C中至少有一个发生 (4)A,B,C都发生, (5)A,B,C都不发生, 表示为:A+B+C
表示为:ABC
表示为:ABC或S- (A+B+C)或A?B?C (6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生 相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为:AB?BC?AC。 (7)A,B,C中不多于二个发生。
相当于:A,B,C中至少有一个发生。故 表示为:A?B?C或ABC (8)A,B,C中至少有二个发生。
相当于:AB,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为:AB+BC+AC
6.[三] 设A,B是两事件且P (A)=0.6,P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P (AB)取到最小值,最小值是多少?
解:由P (A) = 0.6,P (B) = 0.7即知AB≠φ,(否则AB = φ依互斥事件加法定理, P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾).
从而由加法定理得
P (AB)=P (A)+P (B)-P (A∪B)
(*)
(1)从0≤P(AB)≤P(A)知,当AB=A,即A∩B时P(AB)取到最大值,最大值为 P(AB)=P(A)=0.6,
(2)从(*)式知,当A∪B=S时,P(AB)取最小值,最小值为 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3 。
7.[四] 设A,B,C是三事件,且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1. 求A,B,C至少有一个发生的概率。 81,P(AB)?P(BC)?0,4解:P (A,B,C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+ P(ABC)= 315??0? 488
8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词,若从26个英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少?
记A表“能排成上述单词”
2∵ 从26个任选两个来排列,排法有A26种。每种排法等可能。
字典中的二个不同字母组成的单词:55个 ∴ P(A)?55A262?11 1309. 在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数全不相同的概率。(设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2??9)
记A表“后四个数全不同”
∵ 后四个数的排法有104种,每种排法等可能。
4后四个数全不同的排法有A10
∴ P(A)?A101044?0.504 10.[六] 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码。
(1)求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A ∵ 10人中任选3人为一组:选法有??10??种,且每种选法等可能。 ?3??2?5?又事件A相当于:有一人号码为5,其余2人号码大于5。这种组合的种数有1????
?5?1???1?2?P(A)?? 12?10??3???∴ (2)求最大的号码为5的概率。
10?记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3人,选法有???种,且
?3?4?每种选法等可能,又事件B相当于:有一人号码为5,其余2人号码小于5,选法有1?????2?种
?4?1???1?2? P(B)??20?10??3??? 11.[七] 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。在搬运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少?
记所求事件为A。
9在17桶中任取9桶的取法有C17种,且每种取法等可能。 432取得4白3黑2红的取法有C10?C4?C3
故 P(A)?C10?C4?C3C176432?252 243112.[八] 在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。 (1)求恰有90个次品的概率。 记“恰有90个次品”为事件A
∵ 在1500个产品中任取200个,取法有??200个产品恰有90个次品,取法有???400??1100??90??110??????1500??200???1500??种,每种取法等可能。 ?200?400??1100????种 ?90??110?∴ P(A)? (2)至少有2个次品的概率。
记:A表“至少有2个次品”
B0表“不含有次品”,B1表“只含有一个次品”,同上,200个产品不含次品,取法有??1100?400??1100?种,200个产品含一个次品,取法有??????种
?200??1??199?∵ A?B0?B1且B0,B1互不相容。 ??1100???200P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1??1500???200????400??1100???1??199???????? ??1500????200?????????∴ 13.[九] 从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?
记A表“4只全中至少有两支配成一对” 则A表“4只人不配对” ∵ 从10只中任取4只,取法有??10??种,每种取法等可能。 ?4?要4只都不配对,可在5双中任取4双,再在4双中的每一双里任取一只。取法有
4?5??4??2 ???P(A)?C5?2C10444?821813?2121 P(A)?1?P(A)?1?15.[十一] 将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概率各为多少?
记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中,放法有43种,每种放法等可能
对A1:必须三球放入三杯中,每杯只放一球。放法43332种。 (选排列:好比3个球在4个位置做排列)
P(A1)?4?3?243?6 16
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