_
又?1?2≥
525
>0, ?,故8－
38?1?2
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［,从而对于λ∈［,23］内单调递增. 34232］,当λ=时，S(λ)取得最小值.
334232］,当λ=
334答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［,时，所用纸张面积最小.
x2?2x?a［例2］已知函数f(x)=,x∈［1,+∞)
x1(1)当a=时，求函数f(x)的最小值.
2(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.
命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目.
知识依托：本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.
错解分析：考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决. 技巧与方法：解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.
11时，f(x)=x++2 22x∵f(x)在区间［1，+∞)上为增函数，
(1)解：当a=
7. 2x2?2x?a(2)解法一：在区间［1，+∞)上，f(x)= >0恒成立?x2+2x+a>0恒成立.
x设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞)
∴f(x)在区间［1，+∞)上的最小值为f(1)=∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，
∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
a+2,x∈［1,+∞) x当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
解法二：f(x)=x+
当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a, 当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数y=x2+
11 (x≤－)的值域是( )
2x _
A.(－∞,－
7] 4
332C.［,+∞)
2
A.(－∞,1] C.R
二、填空题
7,+∞) 43D.(－∞,－32］
2B.［－
2.(★★★★)函数y=x+1?2x的值域是( )
B.(－∞,－1] D.［1,+∞)
3.(★★★★★)一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).
4.(★★★★★)设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，
V2
)千米 ，那么这批物资全部运20x12+x22有最小值_________.
三、解答题
5.(★★★★★)某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－
12
x(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位：百台) 2(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？
6.(★★★★)已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］ (1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围.
7.(★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按
120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称 工时 产值(千元)
空调器 彩电 冰箱 1 24 1 33 1 42 _
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)
8.(★★★★)在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记
(1)求函数f(x)=
BC?CA=x. ABS1的解析式并求f(x)的定义域. S2(2)求函数f(x)的最小值. 参考答案 难点磁场
(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+
1］, m?11>0恒成立，故f(x)的定义域为R. m?11反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,
m?11即16m2－4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M.
m?11(2)解析：设u=x2－4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)
m?111最小.而u=(x－2m)2+m+,显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时
m?1m?11f(2m)=log3(m+)为最小值.
m?111(3)证明：当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,当且仅当m=2时等号成立.
m?1m?11∴log3(m+)≥log33=1.
m?1
歼灭难点训练
一、1.解析：∵m1=x2在(－∞,－∴y=x2+
111）上是减函数，m2=在(－∞,－）上是减函数， 22x11在x∈(－∞,－)上为减函数,
2x117∴y=x2+ (x≤－)的值域为［－，+∞).
24x答案：B
1?t22.解析：令1?2x=t(t≥0),则x=.
21?t21∵y=+t=－ (t－1)2+1≤1
22∴值域为(－∞,1].
_
答案：A
二、3.解析：t=答案：8
40040016VV2
+16×()/V=+≥216=8. VV40020m?2,∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－4m?2117117=(m－)2－,又x1,x2为实根，∴Δ≥0.∴m≤－1或m≥2，y=(m－)2－在区24416161间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞)上是增函数又抛物线y开口向上且以m=为对称轴.
4故m=1时，
1ymin=.
21答案：－1
2
4.解析：由韦达定理知：x1+x2=m,x1x2=
三、5.解：(1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以
12?125x?x?(0.5?0.25x)(0?x?5)????4.75x?x?0.5(0?x?5)2y=? ??2?(5?5?1?52)?(0.5?0.25x)(x?5)??12?0.25x (x?1)?2?1b(2）在0≤x≤5时，y=－x2+4.75x－0.5,当x=－=4.75(百台）时，
22aymax=10.78125(万元），当x>5(百台）时，y＜12－0.25×5=10.75(万元），
所以当生产475台时，利润最大.
?0?x?5?x?5?或?(3）要使企业不亏本，即要求?12
12?0.25x?0x?4.75x?0.5?0???2解得5≥x≥4.75－21.5625≈0.1(百台）或5＜x＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本.
6.解：(1）依题意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其
?a?1或a??12??a?1?0?,即充要条件是?， ?522a?或a??1????(a?1)?4(a?1)?0?3?∴a＜－1或a>
5.又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意.故a≤－1或a>为35所求. 3 _
(2）依题意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域
?a2?1?05为R，故有?,解得1＜a≤,又当a2－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－
3???051时不合题意，∴1≤a≤为所求.
37.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得：
x+y+z=360 111x?y?z?120 234x>0,y>0,z≥60.
① ②③
假定每周总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数S的最大值，由①②消去z,得y=360－3x.
④
将④代入①得：x+(360－3x)+z=360,∴z=2x ⑤
∵z≥60,∴x≥30.
⑥
再将④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+2·2x,即S=－x+1080.由条件⑥及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为S=－30+1080=1050(千元）.得x=30分别代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60.
∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元.
8.解：(1）如图所示：设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高
h=
ab, c∴S1=πah+πbh=
?abcS4ab(a?b)∴f(x)=1? 2S2c(a?b?c)?a?b?a?b?cx?x????又?c c22ab?(x?1)?a2?b2?c2?2??2(x2?x)代入①消c，得f(x)=.
x?1(a?b),S2??(a?b?c2),, 2
①
在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜
?),则 2a?b?=sinA+cosA=2sin(A+).∴1＜x≤2. c42(x2?x)22(2)f(x)=?2[(x?1)?] +6,设t=x－1,则t∈(0, 2－1),y=2(t+)+6
x?1x?1t在(0，2－1]上是减函数，∴当x=(2－1)+1=2时，f(x)的最小值为62+8.
x=
初级中学数学函数求法十一种
