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函数值域求法十一种
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数
y?1x的值域。
解：∵x?0
1?0x∴
显然函数的值域是：(??,0)?(0,??)
例2. 求函数y?3?x的值域。
解：∵x?0
??x?0,3?x?3 故函数的值域是：[??,3]
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域。 例3. 求函数
2解：将函数配方得：y?(x?1)?4
∵x?[?1,2]
由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin?4，当x??1时，ymax?8 故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
1?x?x2y?1?x2的值域。 例4. 求函数
解：原函数化为关于x的一元二次方程
(y?1)x2?(y?1)x?0
（1）当y?1时，x?R
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??(?1)2?4(y?1)(y?1)?0
13?y?2 解得：2?13?1??,?（2）当y=1时，x?0，而?22? ?13??2,2?? 故函数的值域为?
例5. 求函数y?x?x(2?x)的值域。
222x?2(y?1)x?y?0（1） 解：两边平方整理得：
∵x?R
2∴??4(y?1)?8y?0
解得：1?2?y?1?2 但此时的函数的定义域由x(2?x)?0，得0?x?2
222x?2(y?1)x?y?0在实数集R有实根，??0由，仅保证关于x的方程：而不能确保其实根在
区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 ??0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数
?13??2,2??。 的值域为?可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0?x?2
?y?x?x(2?x)?0
?ymin?0,y?1?2代入方程（1）
解得：
x1?2?2?2422?[0,2]
2?2?242x1?2即当时，
原函数的值域为：[0,1?2]
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x?4 例6. 求函数5x?6值域。
4?6yx?5y?3 解：由原函数式可得：
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则其反函数为：
y?4?6y3x?5x?3，其定义域为：5
3?????,?5? 故所求函数的值域为：?
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
ex?1y?xe?1的值域。 例7. 求函数
y?1ex?y?1 解：由原函数式可得：
x∵e?0
y?1?0y?1∴
解得：?1?y?1 故所求函数的值域为(?1,1)
例8. 求函数
y?cosxsinx?3的值域。
解：由原函数式可得：ysinx?cosx?3y，可化为：
y2?1sinx(x??)?3y sinx(x??)?即
3yy2?1
∵x?R
∴sinx(x??)?[?1,1]
?1?即
3yy?12?1
22??y?4 解得：4?22??,??44??? 故函数的值域为?
6. 函数单调性法 例9. 求函数y?2x?5?log3x?1(2?x?10)的值域。
x?5y?2,y2?log3x?1 1解：令
则y1,y2在[2，10]上都是增函数
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所以y?y1?y2在[2，10]上是增函数 当x=2时，
ymin?2?3?log32?1?18
5y?2?log39?33 max当x=10时，
?1??8,33?? 故所求函数的值域为：?
例10. 求函数y?x?1?x?1的值域。
解：原函数可化为：
y?2x?1?x?1
令y1?x?1,y2?x?1，显然y1,y2在[1,??]上为无上界的增函数 所以y?y1，y2在[1,??]上也为无上界的增函数
2所以当x=1时，y?y1?y2有最小值2，原函数有最大值2显然y?0，故原函数的值域为(0,2] 7. 换元法
?2
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数y?x?x?1的值域。
解：令x?1?t，(t?0)
2则x?t?1
13y?t2?t?1?(t?)2?24 ∵
又t?0，由二次函数的性质可知
当t?0时，ymin?1 当t?0时，y??? 故函数的值域为[1,??)
2y?x?2?1?(x?1) 例12. 求函数的值域。
2解：因1?(x?1)?0 2即(x?1)?1
故可令x?1?cos?,??[0,?]
2y?cos??1?1?cos??sin??cos??1 ∴
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??2sin(??)?14
∵
0????,0????5??44
2??sin(??)?124??0?2sin(??)?1?1?24 ??故所求函数的值域为[0,1?2]
x3?xy?4x?2x2?1的值域。 例13. 求函数
12x1?x2y???221?x1?x2 解：原函数可变形为：2x1?x22?sin2?,?cos?22x?tg?1?x可令，则有1?x
11?y??sin2??cos2???sin4?24
当
??k??1?ymax?4 28时，
k??1?ymin??28时，4 当
而此时tan?有意义。 ???11???4,4?? 故所求函数的值域为?
????x???,??122?的值域。 例14. 求函数y?(sinx?1)(cosx?1)，
解：y?(sinx?1)(cosx?1) ?sinxcosx?sinx?cosx?1
1sinxcosx?(t2?1)2令sinx?cosx?t，则 11y?(t2?1)?t?1?(t?1)222
由t?sinx?cosx?2sin(x??/4)
????x???,??122? 且
2?t?22可得：
初级中学数学函数求法十一种
