选修2-2 第二章 2.3
一、选择题
111
1．用数学归纳法证明1＋＋＋?＋n
232－11
A．1＋<2
211
C．1＋＋＜3
23[答案] B
[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为选B.
2．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a＋?＋a∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )
A．1 C．1＋a [答案] B
[解析] 因为当n＝1时，an1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
＋
11
B．1＋＋＜2
23111
D．1＋＋＋＜3
234
11＝，故22－13
2n＋1
1－an2＝(n
1－a
＋
B．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
111
3．设f(n)＝＋＋?＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
2nn＋1n＋21
A．
2n＋111C．＋
2n＋12n＋2[答案] D
11111??＋＋?＋＋＋[解析] f(n＋1)－f(n)＝?n＋1?＋1?n＋1?＋22n2n＋12?n＋1?? ?111111
－?n＋1＋n＋2＋?＋2n?＝＋－??2n＋12?n＋1?n＋1 ＝
11
－. 2n＋12n＋2
1B． 2n＋2D．
11－ 2n＋12n＋2
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立 C．当n＝4时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立 D．当n＝4时该命题成立
==
[答案] C
[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )
A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立 D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 [答案] C
[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1 C．f(n)＋n－1 [答案] C
[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
二、填空题
7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2n·1·3?(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( )
A．2k＋1 2k＋1C．
k＋1[答案] B
[解析] n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)?(k＋k)＝2k·1·3·?·(2k－1)，
n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)?(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)?(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k1·1·3·?·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.
＋
B．f(n)＋n D．f(n)＋n－2
B．2(2k＋1) 2k＋3
D． k＋1
1111123
8．已知数列，，，?，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此2341×22×33×4n?n＋1?可猜测Sn＝________.
[答案]
n
n＋1
[解析] 解法1：通过计算易得答案． 解法2：Sn＝
1111＋＋＋?＋ 1×22×33×4n?n＋1?
==
11?11111
1－?＋?－?＋?－?＋?＋?n－＝?n＋1 ?2??23??34???
1n＝1－＝. n＋1n＋1
11111111
9．用数学归纳法证明：1－＋－＋?＋－＝＋＋?＋，第一步应
2342n2n－12nn＋1n＋2验证的等式是________．
11
[答案] 1－＝
22
111
[解析] 当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边．
222三、解答题
10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[证明] (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1； 3
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；
27
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.
42n－1
由此猜想an＝n－1(n∈N*)
2
(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立， ②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立， 2k－1
即ak＝k－1，
2当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak 2＋ak2k1－1
∴ak＋1＝＝，
22k＋
2n－1
∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N，an＝n－1成立．
2
*
一、选择题
n4＋n2
11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋?＋n＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基
2
2
础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
==
?k＋1?4＋?k＋1?2C．
2[答案] D
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋?＋(k＋1)2
[解析] n＝k时，左边＝1＋2＋3＋?＋k2，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋?＋k2＋(k2
＋1)＋(k2＋2)＋?＋(k＋1)2，故选D.
12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.( ) A．2π πC．
2[答案] B
[解析] 将k＋1边形A1A2?AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2?Ak与三角形A1AkAk＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk＋1的内角和π的和，故选B.
13．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n
＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)3 C．(k＋1)3 [答案] A
[解析] 因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．
14．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，?，则归纳猜测a7＋b7＝( )
A．26 C．28 [答案] D
[解析] 观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29. 二、填空题
15．用数学归纳法证明“2n1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．
＋
B．π π
D．
3
B．(k＋2)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
B．27 D．29
[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立 [解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形． 16．对任意n∈N*,34n2＋a2n
＋
＋1
都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
[答案] 5
[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310
＋35不能被14整除，故a＝5.
==
三、解答题
17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
n2＋n＋2
求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域．
2
[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
k2＋k＋2
(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立．
2k2＋k＋2
当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直
2线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．
k2＋k＋2?k＋1?2＋?k＋1?＋2
从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区域．
22所以n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，原命题成立．
18．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论． [分析] 由题目可获取以下主要信息：
①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系； ②利用数学归纳法证明猜想的结论． 解答本题的关键是先利用特殊值猜想． [解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1， 当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想， 2n＋2>n2(n∈N*)成立 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边， 所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边．
==
(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立， 即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时， 2k1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
＋
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3 ＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k1＋2>(k＋1)2成立．
＋
根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．
==
人教a版数学选修2-2练习：2.3数学归纳法（含答案）
