专题质量检测(二) 三角函数、平面向量 一、选择题 21．若函数f(x)＝sinax－3sinaxcosax(a＞0)的图象与直线y＝m相切，则m的值为( ) 131353A．－ B．－ C．－或 D.或 222222π?11－cos2ax3?2解析：f(x)＝sinax－3sinaxcosax＝－sin2ax＝－sin?2ax＋?＋，由题意得，m为函数6?222?13f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝. 22答案：C 2．若向量a＝(1,2)和向量b＝(x＋1，－1)垂直，则|a＋b|＝( ) 510A.5 B. C.10 D. 22解析：由a⊥b可得1×(x＋1)＋2×(－1)＝0，解得x＝1.故b＝(2，－1)，所以a＋b＝(3,1)，所以|a＋22b|＝3＋1＝10. 答案：C π?π???3．要得到函数f(x)＝cos?2x＋?的图象，只需将函数f(x)＝sin?2x＋?的图象( ) 3?3???ππA．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 24ππC．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 42π?π?π???π?π???π?解析：由cos?2x＋?＝sin?＋2x＋?＝sin?2?x＋?＋?知，将函数f(x)＝sin?2x＋?的图象向左4?3?3?3?3???2???π?π?平移个单位长度即可得到函数f(x)＝cos?2x＋?的图象．故选B. 3?4?答案：B 4．在△ABC中，AB＝2BC＝2，∠A＝30°，则△ABC的面积为( ) 13A. B. C．1 D.3 222122解析：由题意得AB＝2，BC＝1，由正弦定理得＝，故sinC＝1，即C＝90°，于是AC＝2－1sinCsin30°13＝3，则S△ABC＝×AC×BC＝. 22答案：B →→→→→5．若M为△ABC所在平面内一点，且满足(MB－MC)·(MB＋MC－2MA)＝0，则△ABC为( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 →→→→→→→→→→→→→解析：由(MB－MC)·(MB＋MC－2MA)＝0可知CB·(AB＋AC)＝0，设BC的中点为D，则AB＋AC＝2AD，故CB·AD→→＝0，所以CB⊥AD.又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形． 答案：B π6．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，|φ|＜)的图象如图所示，为了得到函数g(x)＝cos2x的图象，2则只要将函数f(x)的图象( ) πA．向右平移个单位长度 6 πB．向右平移个单位长度 12πC．向左平移个单位长度 6πD．向左平移个单位长度 12π7π3ππ解析：显然A＝1，又ω×＋φ＝π，ω×＋φ＝，解得ω＝2，φ＝，故函数f(x)＝Asin(ωx31223π?π???＋φ)的解析式为f(x)＝sin?2x＋?，又g(x)＝cos2x＝sin?2x＋?，设需平移的单位长度为φ1，则由2(x＋3?2???ππππφ1)＋＝2x＋得φ1＝.故要把函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度．故选D. 321212答案：D 227．已知向量a＝(1，m)，b＝(2，n)，c＝(3，t)，且a∥b，b⊥c，则|a|＋|c|的最小值为( ) A．4 B．10 C．16 D．20 222222解析：由a∥b，b⊥c，得a⊥c，则1×3＋mt＝0，即mt＝－3，故|a|＋|c|＝1＋m＋9＋t＝10＋m＋t≥10＋2|mt|＝16，当且仅当|m|＝|t|＝3时等号成立． 答案：C 228．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a－c＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，则b＝( ) A.2 B．22 C．4 D．23 22222解析：由余弦定理得：a－c＝b－2bccosA.又a－c＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，所以sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，所以sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC. b由正弦定理得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.② c由①②解得b＝4. 答案：C →→→9．在△ABC中，D是BC边的中点，AD＝1，点P在线段AD上，则PA·(PB＋PC)的最小值为( ) 11A．－1 B．1 C. D．－ 22→2→→??|PA|AD|1→→→→→→→2|＋|PD|解析：依题意得，PA·(PB＋PC)＝2PA·PD＝－2|PA|·|PD|≥－2??＝－2＝－2，当且仅当2??1→→1→→→|PA|＝|PD|＝时取等号，因此PA·(PB＋PC)的最小值是－，选D. 22答案：D π??10．已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(ω＞0)在(0,2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围3??为( ) ?π13π? B.?5π，13π? A.?，??12?12?11??6??4π12π? D.?7π，14π? C.?，??8?11?11??13?π?π?π?π?π解析：设t＝ωx＋，则t∈?，2ω＋?.因为f(t)＝sint在t∈?，2ω＋?上恰有一个最大值点和3?3?3?3?3π2π2ω＋≥，??33一个最小值点，所以?π5π2ω＋＜，??32 πω≥，??6解得?13πω＜??12， 即π13π≤ω＜. 612答案：A 11．在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－2，则角A的值为( ) ππA. B. 43C.π3π D. 24解析：由题意知，sinA＝－2cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－2cosB·cosCtanB＋tanC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－2，tan(B＋C)＝＝－1＝－1－tanBtanCπtanA，即tanA＝1，所以A＝. 4答案：A 22212．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sinB＋sinC－sinA＋sinBsinC＝0，则tanA的值是( ) 33A. B．－ 33C.3 D．－3 b＋c－a－bc1解析：依题意及正弦定理可得，b＋c－a＝－bc，则由余弦定理得cosA＝＝＝－，又0＜A2bc2bc22π2π＜π，所以A＝，tanA＝tan＝－3，选D. 33答案：D 二、填空题 1＋cos2α13．若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则2的值为________． cosα＋sin2α22cosα22cosα1＋cos2α2cosα2解析：由已知得tanα＝－2，则＝2＝＝22cosα＋sin2αcosα＋2sinαcosαcosα2sinαcosα1＋2tanα＋22cosαcosα2＝－. 32答案：－ 32222223?→?1→14．已知向量a＝?－，?，OA＝a－b，OB＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△?22?OAB的面积为__________． →→→→解析：由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，故OA⊥OB，|OA|＝|OB|，则(a→→222－b)·(a＋b)＝|a|－|b|＝0，即|a|＝|b|，又|OA|＝|OB|，故|a－b|＝|a＋b|，得a·b＝0，所以|a＋b|＝1→→22|a|＋|b|＝2，所以|OB|＝|OA|＝2，故S△ABO＝×2×2＝1. 2答案：1 π?13?15．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知sin?2A＋?＝，b＝1，△ABC的面积为，则6?22?b＋c的值为__________． sinB＋sinCππ13π解析：在△ABC中，∵0＜A＜π，∴＜2A＋＜， 666π?1?又∵sin?2A＋?＝， 6?2?π5ππ∴2A＋＝，解得A＝. 6631133∵S△ABC＝bcsinA＝×1×c×＝，∴c＝2. 22221222在△ABC中，由余弦定理，得a＝b＋c－2bccosA＝1＋4－2×1×2×＝3，∴a＝3. 2bca3由正弦定理，得＝＝＝＝2， sinBsinCsinA32b＋c∴＝2. sinB＋sinC答案：2 16．某城市为加强对建筑文物的保护，计划对该市的所有建筑文物进行测量，如图是一座非常著名的古老建筑，其中A是烟囱的最高点，选择一条水平基线HG，使得H、G、B三点在同一条直线上，AB与水平基线HG垂直，在相距为60 m的G、H两点用测角仪测得A的仰角∠ACE、∠ADE分别为75°、30°，已知测角仪器的高BE＝1.5 m，则AB＝__________m．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7) CDAC解析：∵∠ACE＝75°，∠ADC＝30°，∴∠CAD＝45°，在△ACD中，CD＝60，由正弦定理得＝，sin45°sin30°则AC＝302.在Rt△AEC中，AE＝ACsin75°，而sin75°＝sin(30°＋45°)＝3)≈40.5(m)，故AB＝AE＋EB＝40.5＋1.5＝42(m)． 答案：42 三、解答题 217．已知函数f(x)＝sin2x－23sinx＋3＋1. (1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间； ?ππ?(2)当x∈?－，?时，求f(x)的值域． ?66?π??2解析：f(x)＝sin2x＋3(1－2sinx)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin?2x＋?＋1. 3??2π(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 2πππ由正弦函数的性质知，当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋， 232π?5ππ?即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin?2x＋?为单调增函数， 3?1212?5ππ??∴函数f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 1212??π?2π??ππ?(2)∵x∈?－，?，∴2x＋∈?0，?， 3?3??66?π??∴sin?2x＋?∈[0,1]， 3??π??∴f(x)＝2sin?2x＋?＋1∈[1,3]． 3??∴f(x)的值域为[1,3]． 218．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋23cosx－3，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期； →→(2)在锐角△ABC中，若f(A)＝1，AB·AC＝2，求△ABC的面积． π??2解析：(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋3(2cosx－1)＝sin2x＋3cos2x＝2sin?2x＋?， 3??2π∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 2π??(3)在锐角△ABC中，有f(A)＝2sin?2A＋?＝1， 3??2＋6，∴AE＝15(1＋4πππ4π∵0＜A＜，＜2A＋＜， 2333π5ππ∴2A＋＝，∴A＝. 364→→→→又AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝2， →→∴|AB|·|AC|＝2. 1→122→∴△ABC的面积S＝|AB|·|AC|sinA＝×2×＝. 222219．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)． (1)求sin2α－tanα的值； ?π??π?2(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数y＝3f?－2x?－2f(x)在区间?0，?上2??2??的值域． 解析：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)， 133∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－， 223333＋＝－. 236(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R， π??π??2∴y＝3cos?－2x?－2cosx＝3sin2x－1－cos2x＝2sin?2x－?－1. 6??2??πππ5π∵0≤x≤，∴－≤2x－≤， 2666π?1?∴－≤sin?2x－?≤1， 6?2?π??∴－2≤2sin?2x－?－1≤1， 6???π??π?2∴函数y＝3f?－2x?－2f(x)在区间?0，?上的值域为[－2,1]． 2??2??∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－312sin2x－cosx－，x∈R. 22(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期； (2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝0，若sinB＝2sinA，求a，b的值． π?31＋cos2x1?解析：(1)∵f(x)＝sin2x－－＝sin?2x－?－1， 6?222?∴f(x)的最大值为0， 2π最小正周期T＝＝π. 2π?π???(2)由f(C)＝sin?2C－?－1＝0，得sin?2C－?＝1. 6?6???∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π， ππ11∴－＜2C－＜π， 666πππ∴2C－＝，∴C＝. 623a1∵sinB＝2sinA，∴由正弦定理得＝，① b2π222由余弦定理得c＝a＋b－2abcos， 322即a＋b－ab＝9，② 由①②解得a＝3，b＝23. cosA－3cosC3c－a21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝. cosBb20．已知函数f(x)＝
2019年高考数学(文)三轮专题质量检测：三角函数、平面向量(含详解)
