拓展训练 2020年浙教版数学九年级上册 专项综合全练（一）
二次函数中的新定义型试题
1．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的解析式为y =x2-2x-3，则半圆圆心M的坐标为__________．
2．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称的二次函数”，例如二次函数y?= x2+2x+2与y?=x2-2x+2是“关于y轴对称的二次函数”． (1)直接写出“关于y轴对称的二次函数”的图象所具有的共同特点;
(2)二次函数y=2（x+2）2+1的“关于y轴对称的二次函数”的解析式为_____________；二次函数y=a(x-h)2+k的“关于y轴对称的二次函数”的解析式为__________； (3)如图所示，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称的二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连结A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称的二次函数”的函数表达式．
3．定义：如图①，抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的勾股点．
(1)直接写出抛物线y=-x2+1的勾股点的坐标；
(2)如图②，已知抛物线C:y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足的Q点（异于点P）的坐标.
4．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”，一个顶点在抛物线上，另一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C.
(1)该抛物线的“梦想直线”的解析式为___________，点A的坐标为________，点B的坐标为____；
(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称
点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图
5．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中的较大者，例如：max{ -1，-1} =-1，max{1，2}=2，max{4，3}=4，参照上面的材料，解答下列问题： (1)max{5，2}=___________，max{0，3}=_____________; (2)若max{3x+1，-x+1}=-x+1，求x的取值范围； (3)求函数y=x2- 2x -4与y= -x+2的图象的交点坐标，函数y =x2-2x-4的图象如图所示，请你在图中作出函数y= -x+2的图象，并根据图象直接写出max{ -x+2，x2-2x-4}的最小值.
专项综合全练（一）
二次函数中的新定义型试题 1．答案(1，0)
解析 当y=0时，0=x2-2x-3，解得x?=-1，x?=3，故A(-1，0)，B(3，0)，则AB的中点坐标为(1，0)，即M的坐标为(1，0)．
2．解析 (1)顶点关于y轴对称，对称轴关于y对称．
(2)二次函数y=2（x+2）2+1的“关于y轴对称的二次函数”的解析式为y=2（x-2）2+1． 二次函数y=a(x-h) 2+k的“关于y轴对称的二次函数”的解析式为y=a(x+h)2+k．
(3)∵菱形ABOC的面积为24，且BC=6，∴OA=8，∴A点的坐标为(0，8)，B点的坐标为（-3，4），
设一条抛物线的解析式为y=a(x+3)2+4(a≠0)，将A点坐标代入，得9a+4=8，解得， ∴的“关于y轴对称的二次函数”的函数表达式为． 3．解析 (1)抛物线y= -x2+1的勾股点的坐标为(0，1)． (2)抛物线y=ax2+bx过原点，即点A(0，0)， 如图，作PG⊥x轴于点G．
∵点P的坐标为（1，）， ∴AG=1，PG=，∴∵
，∴∠PAG=60°，
，
在Rt△PAB中，，
∴点B的坐标为(4，0)，
设抛物线C的函数表达式为y=ax（x-4）(a≠0)， 将点P（1，）代入得， ∴
．
(3)当点Q在x轴上方时，由知点Q的纵坐标为， 则有，即x2-4x+3=0，
解得x?=3，x?=1（不符合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为（3，）．
当点Q在x轴下方时，由知点Q的纵坐标为． 则有，即x2-4x-3=0， 解得，，
∴点Q的坐标为或．
综上，满足条件的点Q的坐标为（3，）或或， 4．解析 (1)抛物线
的“梦想直线”的解析式为，
联立解得或
∴，B(1，0).
(2)当点N在y轴上时，如图，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，
在
中，令y=0，得x=-3或x=1，∴C( -3，0)，
∴， 由翻折的性质可知AN=AC=， 在Rt△AND中，由勾股定理可得， ∵，∴或，
当时，MN＞OD＞CM，与MN= CM矛盾，不合题意， ∴N点的坐标为．
当M点在y轴上时，M与O重合，过A作AD⊥y轴于点D，过N作NP⊥x轴于点P，如图，
在Rt△AMD中，AD=2，，∴， ∴∠DAM= 60°，∵AD∥x轴， ∴∠AMC=∠DAO=60°，
又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°． ∴∠NMP=60°．且MN= CM=3． ∴
，
∴N点的坐标为.
综上可知，N点的坐标为或．
(3)存在．①当AC为平行四边形的边时，如图，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，
则有AC∥EF且AC=EF， ∴∠ACK= ∠EFH， 在△ACK和△EFH中，
∴△ACK≌△EFH(AAS)，∴FH=CK=1，HE=AK=， ∵抛物线的对称轴为直线x=-1．
∴F点的横坐标为0或-2，∵点F在直线AB上， ∴当F点的横坐标为0时，，此时点E在直线AB下方， ∴E到x轴的距离为
，即E点的纵坐标为，∴
当F点的横坐标为-2时，F与A重合，不合题意． ②当AC为平行四边形的对角线时，
∵C(-3，0)，，
∴线段AC的中点坐标为， 设E(-1，t)，F(x，y)，则，，
∴x=-4，， 代入直线AB的解析式可得∴
.
．
，解得t.
综上可知，存在满足条件的点E，F，且，或5．解析 (1)max{5，2}=5，max{0，3}=3.
(2)∵max{ 3x+1，-x+1}=-x+1， ∴3x+1≤-x+1，解得x≤0． (3)联立解得
∴交点坐标为（-2，4）和（3，-1）. 画出直线y= -x+2，如图所示，
观察函数图象可知，当x=3时，max{ -x+2，x2-2x -4}的最小值为-1．
2020年浙教版数学九年级上册 专项综合全练(一)(含答案)
