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金融数学第一章练习题详解 第 1 章 利息度量
1.1 现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。
600i?2?150?i?12.5 00(1?12.5%)3?2847.65
1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T。
1004vT/12?314v1/12?271v18/12其中vt?(1?i)?t?(1?5%)?t?1.05?t1.05?T/12?(314?1.05?1/12?271?1.05?18/12)/1004?0.562352
T两边取对数，?ln1.05?ln0.56235212T??ln0.562352/ln1.05?12?141.58
1.3 在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X，按利率 i（单利）来计息。 假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i。
iii1A的半年实际利率为，A:X((1?)16?(1?)15)B:2X?i??Xi2222iiX((1?)16?(1?)15)?Xi22iiiii?(1?)16?(1?)15?(1?)15?
2222i(1?)15?22两边取对数i?(21/15?1)?2?0.094588
1.4 一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。求 n。
??ln?1?i?a(t)?(1?i)t?e?te27.72??2??ln2/27.72?0.025i0.5??（1?2?)n/2?7.04n?(ln7.04/ln1.05)?2?80 .专业资料.整理分享.
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1.5 如果年名义贴现率为 6%，每四年贴现一次，试确定$100 在两年末的累积值。
100(1?4?6%)?1/4?2?114.71
1.6 如果 i(m)= 0.1844144 ， dm?m(m)= 0.1802608 ，试确定 m。
?im??dm?1?i??1????1??mm?????im??dm??1????1???1m??m???im??dm??1????1???1mm????mm?1?d
im?dmim?dm1???1mm2im?dmmmi?d?mim?dm0.1844144?0.1802608m?m??8mi?d0.1844144?0.1802608
1.7 基金 A 以每月复利一次的名义利率 12 %累积。基金 B 以?t= t / 6 的利息力累积。在零时刻，分别存入 1 到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。
?1?12%/12?12tt/6dt2?0?e?et/12t两边取对数，12tln1.01?t2/12 t?144?ln1.01?1.43
1.8 基金 A 以 ?t= a+bt 的利息力累积。基金 B 以?t= g+ht 的利息力累积。基金 A 与基金 B 在零时刻和 n 时刻相等。已知 a > g > 0 ， h > b > 0 。求n。
(at?bt(a?bt)dta(t)?e?0?e2tt12)(gt?ht(g?ht)dt?0b(t)?e?e212)a(0)?b(0),a(n)?b(n)
11?an?bn2?gn?hn2222(g?a)?n?b?h
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1.9 在零时刻将 100
支付利息。从 t = 2 开始，利息按照 ?t?值为 260。求δ。
1的利息力支付。在 t = 5 时，存款的累积1?t?指前两年内的年名义贴现率100(1??/4)-4?2?e100(1??/4)-4?2?21?tdt51?260?260
??4?1??260/(100?2)?-1/8?0.1290
1.10 在基金 A 中，资金 1 的累积函数为 t+1，t>0；在基金 B 中，资金 1 的累积函数
2
为1+t 。请问在何时，两笔资金的利息力相等。
??e(ln6?ln3)??A?12t,?B?t?11?t2
12t2令?A??B???t?2t?1?0?t?2?1?0.412t?11?t
1.11 已知利息力为?t?2。第三年末支付 300 元的现值与在第六年末支付 600 元的1?t现值之和，等于第二年末支付 200 元的现值与在第五年末支付 X元的现值。求 X。
a(t)?e?01?tdtt2?e2ln(1?t)?(1?t)2?a?1(t)?(1?t)?2
300?a?1(3)?600?a?1(6)?200?a?1(2)?X?a?1(5)?X?(300?(1?3)?2?600?(1?6)?2-200?(1?2)-2)/((1?5)?2)?315.82
t3?11.12 已知利息力为?t?。请求a(3)。
100a?1(3)?e??0100dt3t3?e?1/400?(3?0)?e?81/400?e?0.2025?0.8167
4
1.13 资金 A 以 10%的单利累积，资金 B 以 5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。
A:a(t)?(1?10%t)?1?0.1t??A?0.11?0.1t0.05
1?0.05tB:a?1(t)?(1?5%t)?1?0.05t?a(t)?(1?0.05t)?1??B?令?A??B?0.10.05??2-0.1t?1?0.1t?t?51?0.1t1?0.05t .专业资料.整理分享.
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