∴＝，∴EB＝2﹣2，
﹣2）?2＝2
﹣2，
∴S△EBF＝?BE?BF＝（2故答案为2
﹣2．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、四点共圆等知识，解题的关键是添加辅助线，学会构造直角三角形利用斜边中线性质解决问题，学会构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（11分）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣2与x轴交于A、B，与y轴交于C，连AC、BC，∠ABC＝∠ACO． （1）求抛物线的解析式．
（2）设P为线段OB上一点，过P作PN∥BC交OC于N，设线PN为y＝kx+m，将△PON沿PN折叠，得△PNM，点M恰好落在第四象限的抛物线上，求m的值． （3）CE平分∠ACB交抛物线的对称轴于E，连AE，在抛物线上是否存在点P，使∠APC＞∠AEC，若存在，求出点P的横坐标xp的取值范围，若不存在，请说明理
由．
【分析】（1）如图1中，由△AOC∽△COB，得
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＝
，得OA?OB＝OC2＝4，结合根
与系数关系即可解决问题．
（2）如图2中，首先证明OM⊥BC，求出直线OM的解析式，利用方程组求出点M坐标，再求出PN的解析式即可解决问题．
（3）如图3中，CE交AB于M，作MG⊥AC于G，MH⊥BC于H，连接EB．对称轴与x轴交于点K．首先证明E、A、C、B四点共圆，圆心为K，⊙K与抛物线在第四象限的交点为F．观察图象即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，设A（m，0），B（n，0），
∵∠ACO＝∠CBO，∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴△AOC∽△COB， ∴
＝
，
∴OA?OB＝OC2＝4， ∴
＝﹣4，
∴a＝，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图2中，PN与OM交于点G，
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由题意OM⊥PN， ∵PN∥BC， ∴OM⊥BC，
∵直线BC的解析式为y＝x﹣2， ∴直线OM的解析式为y＝﹣2x， 由
解得
，或
，
∴点M坐标（∵OG＝GM， ∴点G坐标（
，1﹣），
，），
，
∴直线PN的解析式为y＝x+∴m＝
．
（3）如图3中，CE交AB于M，作MG⊥AC于G，MH⊥BC于H，连接EB．对称轴与x轴交于点K．
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∵CE平分∠ACB， ∴MG＝MH，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2） ∴AC＝
，BC＝2
，AB＝5，
∴＝＝＝＝
∴AM＝，OM＝，
∴直线CE解析式为y＝3x﹣2， ∴点E坐标（，）， ∴EK＝AK＝KB，
∴△EAB是等腰直角三角形， ∴∠EBA＝∠ACE＝45°，
∴E、A、C、B四点共圆，圆心为K，⊙K与抛物线在第四象限的交点为F． 根据对称性，点F坐标（3，﹣2），
由图象可知，当点P在抛物线A→C段或B→F段时，∠APC＞∠AEC， 此时点P的横坐标xp的取值范围﹣1＜xP＜0或3＜xP＜4．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，第三个问题的突破点是利用圆，找到点P的位置，属于中考压轴题．
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湖北省武汉市江岸区中考数学模拟试卷(一)
