(11)对于不等式f′(x)＋kf(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝ekxf(x)； (12)对于不等式f′(x)－kf(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝f?x?； ekx(13)对于不等式f(x)＋f′(x)tan x>0(或<0).构造函数F(x)＝sinxf(x)； f?x?(14)对于不等式f(x)－f′(x)tanx>0(或<0).构造函数F(x)＝sinx(sinx≠0)； (15)对于不等式f′(x)－f(x)tan x>0(或<0).构造函数F(x)＝cosxf(x)； f?x?(16)对于不等式f′(x)＋f(x)tanx>0(或<0).构造函数F(x)＝cosx(cosx≠0)． 调研四 方程思想在解题中的应用 【例4】 (1)[20xx·福建龙岩质检]若α∈α(0.π).且3sinα＋2cosα＝2.则tan等于( ) 22A. 33C. 2解析：∵3sin α＋2cos α＝2. αα?αα?6sincos＋2?cos2－sin2?22?22?∴＝2. ααsin2＋cos222αα6tan＋2－2tan222∴＝2. αtan2＋12ααα22∴3tan＋1－tan＝tan＋1. 222 11 / 14 1B. 23D. 2 α3解得tan＝0或. 22α又∵α∈(0.π).∴tan>0. 2α3∴tan＝.故选D. 22答案：D (2)[20xx·河北省××市质检]将函数y＝ex(e为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O顺时针旋转角θ后第一次与x轴相切.则角θ满足的条件是( ) A．esinθ＝cosθ B．sinθ＝ecosθ C．esinθ＝1 D．ecosθ＝1 解析：设直线y＝kx与y＝ex相切.切点为(x0.y0)． ∵y′＝ex.∴k＝ex0. 又∵ex0＝kx0.∴k＝kx0. 解得x0＝1.k＝e.即tan θ＝e.∴sin θ＝ecos θ.故选B. 答案：B (3)[20xx·河北衡水中学二调]等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＋a7－a10＝5.a11－a4＝7.则S13＝( ) A．152 C．156 ??a1－d＝5，??7d＝7，?B．154 D．158 解析：设公差为d.则由已知可得 ??a1＝6，解得??d＝1，? 13×12∴S13＝13×6＋＝156.故选C. 2答案：C x2y2(4)[20xx·四川省××市二诊]双曲线C：－a2b2＝1(a>0.b>0)的左、右焦点分别为F1.F2.过F1的直线与圆x2＋y2＝a2相 12 / 14 切.与C的左、右两支分别交于点A.B.若|AB|＝|BF2|.则C的离心率为( ) A.5＋23 C.3 B．5＋23 D.5 解析：如图.由双曲线的定义可得 |BF1|－|BF2|＝2a.又|AB|＝|BF2|. 可得|AF1|＝2a.则|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a. 设AB与圆x2＋y2＝a2切于点T.连接OT.则OT⊥AB. |F1T|c2－a2在Rt△OTF1中.cos∠OF1T＝＝. |OF1|c 连接AF2.在△AF1F2中.由余弦定理得 |AF1|2＋|F1F2|2－|AF2|2cos∠AF1F2＝ 2|AF1|·|F1F2|4a2＋4c2－16a2c2－3a2＝＝. 2·2a·2c2acc2－a2c2－3a2由∠OF1T＝∠AF1F2.得＝.化简得13a4＋c4－c2ac10a2c2＝0.两边同除以a4得e4－10e2＋13＝0.解得e2＝5±23.又e>1.则e2＝5＋23.e＝5＋23.故选A. 答案：A 方法点睛 方程思想的应用十分广泛.只要涉及含有等量关系的条件或结论时.都可考虑通过构建方程或方程组求解.其主要应用有以下几个方面： 13 / 14 (1)方程思想在三角函数求值问题中的应用．如：“切弦”互化问题.一般是将“弦”化“切”建立关于tanα的方程求解；结合三角恒等式sin2α＋cos2α＝1与已知条件构建方程组求解． (2)方程思想在函数与导数中的应用．如：曲线的切点问题.一般是利用导数的几何意义和已知条件.构建关于切点横坐标x0的方程求解． (3)方程思想在数列中的应用．如：等差(比)数列的求值问题.一般利用其通项公式与前n项和公式.构建关于首项与公差(比)的方程组求解． (4)方程思想在平面解析几何中的应用．如：椭圆或双曲线的离心率求值问题.一般是由已知条件构建关于a.b.c的方程求解． 14 / 14
2020版新高考复习理科数学教学案：函数与方程思想含答案
