(2)求最值或值域时.要根据题目的已知条件.准确求出目标函数的定义域． 调研二 分离参数“显化函数关系”求范围 1【例2】 (1)[20xx·河北衡水中学二调]若关于x的方程log3(a－3x)＝x－2有解.则实数a的最小值为( ) A．4 B．6 C．8 D．2 ?1?－解析：关于x的方程log(a－3)＝x－2有解?a－3＝??x2有解?3?31xx?a＝3x＋32－x有解．因为3x＋32－x≥23x·32－x＝6(当且仅当x＝1时.等号成立).所以a的最小值为6.选B. 答案：B (2)[20xx·浙江金华十校期末]若关于x的不等式x3－3x2－ax＋a＋2≤0在(－∞.1]上恒成立.则实数a的取值范围是( ) A．(－∞.－3] C．(－∞.3] B．[－3.＋∞) D．[3.＋∞) 解析：关于x的不等式x3－3x2－ax＋a＋2≤0在(－∞.1]上恒成立等价于a(x－1)≥x3－3x2＋2＝(x3－x2)－2(x2－1)＝(x－1)(x2－2x－2)恒成立． 当x＝1时.不等式显然恒成立； 当x<1时.不等式化为a≤x2－2x－2. ∵y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3≥－3.x∈(－∞.1]. ∴a≤－3.选A. 答案：A (3)[20xx·云南曲靖一中质量监测]已知函数f(x)＝ex(x－m).m∈R.若对?x∈(2,3).使得f(x)＋xf′(x)>0.则实数m的取值范围为( ) ?15?A.?－∞，? 4???8?B.?－∞，? 3?? 6 / 14 ?15?C.?，＋∞? ?4??8?D.?，＋∞? ?3?解析：∵f(x)＝ex(x－m). ∴f′(x)＝ex(x－m)＋ex＝ex(x－m＋1)． 由题意知f(x)＋xf′(x)>0?ex(x－m)＋xex(x－m＋1)>0?ex[x2＋(2－m)x－m]>0在(2,3)上恒成立. ∴x2＋(2－m)x－m>0在(2,3)上恒成立. x2＋2x∴m<在(2,3)上恒成立． x＋1x2＋2x1令g(x)＝＝(x＋1)－在(2,3)上单调递增. x＋1x＋188∴g(x)>g(2)＝.则m≤.选B. 33答案：B 方法点睛 (1)对于方程有解、不等式恒成立问题或存在性问题.往往可以分离参数.然后再构造函数.把问题转化为求函数的值域或最值问题来解决． (2)不等式有解、恒成立求参数的方法： g(a)>f(x)恒成立.则g(a)>f(x)max. g(a)f(x)有解.则g(a)>f(x)min. g(a)0.则不等式>0的解集是( ) f?x??1?A.?，＋∞? ?3??1?C.?0，? 3??B．(1.＋∞) D．(0,1) 1解析：构造函数g(x)＝ln xf(x)(x>0).则g′(x)＝f(x)＋ln xf′(x)xf?x?＋xln xf′?x?＝>0.所以函数g(x)＝ln xf(x)在(0.＋∞)上单调递增.而xln x>0?ln xf(x)>0?g(x)>0?g(x)>g(1)?x>1.故选B. f?x?答案：B (2)[20xx·吉林调研]设函数f(x)在R上存在导函数f′(x).对任意实数x.都有f(x)＝f(－x)＋2x.当x<0时.f′(x)<2x＋1.若f(1－a)≤f(－a)＋2－2a.则实数a的最小值为( ) A．－1 1C. 2解析：设g(x)＝f(x)－x2－x. 则g′(x)＝f′(x)－2x－1. 因为当x<0时.f′(x)<2x＋1.所以g′(x)<0.即g(x)在(－∞.0)上单调递减． 又g(x)＝f(x)－x2－x. 则g(－x)＝f(－x)－x2＋x. 又f(x)＝f(－x)＋2x. 则f(x)－f(－x)－2x＝0. 1B．－ 2D．1 8 / 14 所以g(x)－g(－x)＝f(x)－f(－x)－2x＝0.即g(x)为R上的偶函数． 又f(1－a)≤f(－a)＋2－2a?f(1－a)－(1－a)2－(1－a)≤f(－a)－(－a)2－(－a). 即g(1－a)≤g(－a).所以|1－a|≤|a|. 11解得a≥.即a的最小值为.故选C. 22答案：C (3)[20xx·吉林延边质f′?1?检]已知定义在R上的函数f(x)和g(x)满足f(x)＝2e2x－2＋x2－2f(0)x.且g′(x)＋2g(x)<0.则下列不等式成立的是( ) A．f(2)g(20xx)g(20xx) C．g(20xx)f(2)g(20xx) f′?1?2x－22解析：∵f(x)＝e＋x－2f(0)x. 2∴f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0). ∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0).得f(0)＝1. f′?1?－2∴f(0)＝e＝1.得f′(1)＝2e2. 2∴f(x)＝e2x＋x2－2x. 设F(x)＝e2xg(x). 则F′(x)＝2e2xg(x)＋e2xg′(x)＝e2x[2g(x)＋g′(x)]<0. ∴F(x)在R上单调递减. ∴F(20xx)>F(20xx). ∴e20xx×2g(20xx)>e20xx×2g(20xx). ∴g(20xx)>e4g(20xx)． 又∵f(2)＝e4.∴g(20xx)>f(2)g(20xx). 故选D. 9 / 14 答案：D 方法点睛 常见的构造函数的方法有如下几种： 1．利用和、差函数的求导法则构造函数 (1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)； (2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝f(x)－g(x)； 特别地.对于不等式f′(x)>k(或0(或<0).构造函数F(x)＝f(x)g(x)； (4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝f?x?(g(x)≠0)； g?x?上述(3)(4)都是利用积、商函数的求导法则构造函数的一般情况.但在考试中.g(x)往往是具体函数.所以还有如下列(5)～(16)常见构造函数类型． (5)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝xf(x)； f?x?(6)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝x(x≠0)； (7)对于不等式xf′(x)＋nf(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝xnf(x)； f?x?(8)对于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝nx(x≠0)； (9)对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝exf(x)； f?x?(10)对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0).构造函数F(x)＝x； e 10 / 14
