2009-2012年全国高中数学联赛试题及答案

2009-2012年全国高中数学联赛试题及答案

2009年全国高中数学联合竞赛一试

试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）

x1． 若函数且f?x??f?，则f?x???ff?x?????f??(n)1?x2n ．

1【答案】 10f?99??1?? 【解析】 f?1??x??f?x??f?2?x1?x2，

x2?x??f??f?x????1?2x ……

f?99??x??99?x1?99x2．

故f?2．

?1??110．

22已知直线L:x?y?9?0和圆M:2x?2y?8x?8y?1?0，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在?ABC中，?BAC?45?，

则点A横坐标范围为 ． AB过圆心M，

【答案】 ?3，6?

2

【解析】 设

，则圆心M到直线AC的距离

34d?AMsin45?，由直线AC与圆M相交，得d≤． 2A?a，9?a??y≥0

?

?y≤x?y≤2?x?

解得3≤a≤6．

3．

在坐标平面上有两个区域M和N，M为

，N是

随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t?1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f?t?? ．

1y【答案】 ?t?t? 22【解析】 由题意知

f?t??S

?S?S?S

1 ?1?1t??1?t? 22 ??t?t?1 2阴影部分面积?AOB?OCD?BEFACODFEBx2224．

1使不等式n1???1n?2?11?a?20072n?13对一切正整数n都

成立的最小正整数a的值为 ．

【答案】 2009

11【解析】 设f?n??n1．显然f?n?单调递减，则????1n?22n?1由f?n?的最大值f?1??a?20071，可得a?2009． 35．

椭圆

x2y2??1?a?b?0?a2b2上任意两点P，Q，若OP?OQ，则

乘积OP?OQ的最小值为 ． 【答案】 a2a?bb

2222【解析】 设P?OPcos?，OPsin??，

?π?π????Q?OQcos????，OQsin?????． 2?2?????由P，Q在椭圆上，有

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