考研真题【2018考研数学(一)真题+答案解析】2018年考研数学一真题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在x?0处不可导的是（）(A)f?x??xsinx(C)f?x??cosx【答案】（D）【解析】根据导数的定义：(B)f?x??xsin(D)f?x??cosxx（A）lim

x?0

xsinxxxsinx?lim

x?0

x?xx?0,可导；

（B）limx?0

x?limx?0

x?xx?0,可导；

（C）lim

x?0

cosx?1

x?lim

x?0

?

1x

2?0,可导；x21?xcosx?1lim?lim2x?0xx（D）x?0

故选D。?lim

x?0

?

1

x

2,极限不存在，x（2）过点?1,0,0?,?0,1,0?，且与曲面z?x?y相切的平面为（）2

2

(A)z?0与x?y?z?1(C)x?y与x?y?z?1【答案】（B）【解析】(B)z?0与2x?2y?z?2(D)x?y与2x?2y?z?2

过?1,0,0?,?0,1,0?的已知曲面的切平面只有两个，显然z=0与曲面z?x2?y2相切，排除C、D曲面z?x2?y2的法向量为(2x,2y,-1),

对于A选项,x?y?z?1的法向量为(1,1,?1),可得x?

11,y?,22代入z?x2?y2和x?y?z?1中z不相等，排除A，故选B.

（3）???1?n?0

?

n

2n?3

?（）n?21!??(A)sin1?cos1(B)2sin1?cos1(C)2sin1?2cos1(D)2sin1?3cos1【答案】（B）??

(?1)n

2n?3?n2?

2【解析】n?0

(2n?1)!??(?1)n?1?1)!?(1)n

n?0(2n??n?0(2n?1)!=??

(?1)n

1?

?n?0(2n)!?(?1)n2

n?0

(2n?1)!?cosl?2sin1

故选B.?2

?（4）设M?

1?x

??

2?1?x???21?x2dx,N??

2??2exdx,K??2??1?cosxdx,则（2??(A)M?N?K(B)M?K?N(C)K?M?N(D)K?N?M

【答案】（C）?(1?x)2?【解析】M=?

1?x2dx??21?x2

?2x?2????dx2(12x)dx221?x2?????21?x2??.x

??1?x?e(x?0)?1?x

e2?1?N?

?

21?x

??2exdx??

2??1dx???M

2??K=?2?（1?cosx)dx??2?1dx???M2??2故K?M?N,应选C。?110?

（5）下列矩阵中与矩阵??011?

相似的为（??001?）???11??(A)?1?

?011?(B)?10?1?

??011??001?

????

?001???11?1??(C)??010?(D)?10?1???010??001?

??

??

?001??

【答案】（A））0??1?1?110?

??3

令J??011?，则特征值?E?J?0=0，??1?1?（?-1）

【解析】?001?00??1??则特征值为?1=?2=?3=1.

?0?10?

??

当?=1时，E?J??00?1?，可知（rE?J)?2.

?000???

1??1?1?11?1?

3??

A选项，令A=?011?，则由?E?A?0??1?1????1??0解得?1=?2=?3=1.

?001?00??1???0?11?

??

此时当?=1时，E?A=?00?1?，可知e?E?A??2.

?000???

?10?1?

??

B选项，令B=?011?，则同理显然可知矩阵B所有的特征值为1,1,1.当?=1时，（rE?B)?1.

?001????10?1???

C选项，令C=?011?，则同理显然可知矩阵C所有的特征值为1,1,1.当?=1时，（rE?C)?1.

?001????10?1???

D选项，令D=?011?，则同理显然可知矩阵D所有的特征值为1,1,1.当?=1时，（rE?D)?1.

?001???由于矩阵相似，则相关矩阵E?A与E?J也相似，则r(E-A)=r(E-J).

可知答案选A。（6）设A、B为n阶矩阵，记r?X?为矩阵X的秩，则（?X,Y?表示分块矩阵，(A)r?A,AB??r?A?(C)r?A,B??maxr?A?,r?B?【答案】（A）【解析】(B)r?A,BA??r?A?）??(D)r?A,B??rAB

T

?T

?设C?AB，则可知C的列向量可以由A的列向量线性表示，则r(A,C)?r(A,AB)?r(A).

（7）设随机变量X的概率密度f?x?满足f?1?x??f?1?x?,且(A)0.2【答案】（A）(B)0.3

(C)0.4(D)0.5

?f?x?dx?0.6,则P?X?0??（0

2

）【解析】由f(1?x)?f(1?x)知，f(x)关于x?1对称，故P?X?0??P?X?2??P?X?0??P?0?X?2??P?X?2??1，P?0?X?2???2P?X?0??0.4?P?X?0??0.2

（8）设总体X服从正态分布N

?

2

0

f(x)dx?0.6

??,??,X,X,?,X是来自总体X的简单随机样本，据此样本检测：

212n假设：H0：?=?0，H1：???0，则（）(A)如果在检验水平?=0.05下拒绝H0，那么在检验水平?=0.01下必拒绝H0(B)如果在检验水平?=0.05下拒绝H0，那么在检验水平?=0.01必接受H0(C)如果在检验水平?=0.05下接受H0，那么在检验水平?=0.01下必拒绝H0(D)如果在检验水平?=0.05下接受H0，那么在检验水平?=0.01下必接受H0【答案】(A)X??1n

X??Xi,X~N(?,?2),故~N(0,1)

n?/ni?1【解析】x??0所以?1?0.05时，拒绝域为：?u0.025,u0.025为上?分位点.

?/nx??0?2=0.001时，拒绝域为：?u0.0005.

?/n又因为u0.025?u0.0005,故选A.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。（9）若lim?【答案】-2?1?tanx?

?x?01?tanx??

1sinkx?e,则k?__________.?1?tanx?

【解析】由e=lim??x?01?tanx??

1

sinkx?e

?1?tanx?1

?1?lim?

x?0?1?tanx?sinkx,得

1=lim

故k??2.

1?1tanx?1tanx?2

??lim?,x?0sinkx1?tanxx?0kxkx

y?2在点?1,2?处（10）设函数f?x?具有2阶连续导数，若曲线y?f?x?过点?0,0?且与曲线相切，则?xf???x?dx?__________.01

【答案】2ln2?2

【解析】?

1

???

（11）设F(x,y,z)?xyi?yzj?zxk,则rotF?1,1,0??（1,0,?1)【答案】???

【解析】F(x,y,z)?xyi?yzj?zxk

?i

?

rotF(x,y,z)?

?xxy

?j??y?yz

?k

0

??xf???x?dx?xf??x?10??f(x)dx?f(1)?f(1)?f(0)?2ln2?2?0?2ln2?2

0

1

.????

?yi?zj?xk?zzx

?rotF(1,1,0)?(1,0,?1)

（12）设L为球面x?y?z?1与平面x?y?z?0的交线，则【答案】0【解析】由曲线L关于xoz面对称，被积函数关于y是奇函数，故

2

2

2

??

L

xyds?

.??xyds?0.

L

2

A（13）设2阶矩阵A有两个不同特征值，?1,?2是A的线性无关的特征向量，且满足则A?

【答案】-1.??1??2?=?1??2，

（?1??2）（=?1??2），可知A有特征值1，对应的特征向量为?1??2.【解析】由A

2

2

则可知A的特征值只能取1或?1.由于矩阵A有2个不同的特征值，则可知A的特征值恰好为1和?1.则A?1?(?1)??1.

（14）设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC=?，若

P?A??P?B??

则P?C??

【答案】.11

,P??ACAB?C??,24

1

4【解析】PACAB?C?

??P?AC(AB?C)?P（AB?C)

?

P(AC)1

?

P(AB)?P(C)?P(ABC)4

P(A)P(C)111

????P(C)?.

11P(A)P(B)?P(C)?P(ABC)44??P(C)?0422三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1

P(C)2