数学奥林匹克高中训练题(195)
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 设p、q?R+，且满足log9p?log12q?log16(p?q).则
q?. p2. 已知函数f(x)?cosx?asinx?2的最大值为5.则实数a的值为.
23. 设数列?an?满足a1?3,an?1??an??数部分、小数部分.则a2015?.
1，其中，?an?、?an?分别表示正数an的整?an?
4. 在三棱椎P?ABC中，已知BC?3,CA?4,AB?5.若三个侧面与底面所成的二面角均 为45，则三棱椎P?ABC的体积为.
22225. 已知双曲线C1:2x?y?1，椭圆C2:4x?y?1.若M、N分别为双曲线C1、椭
0
圆C2上的动点，O为坐标原点，且OM?ON，则点O到直线MN的距离 为.
20156. 设a、b均为正整数，且a?b2?(1?2).则ab的个位数字为.
x2y27. 设椭圆2?2?1经过定点P(1,2).则m?n的最小值为.
mn8. 一道数学竞赛题，甲、乙、丙单独解出的概率分别为、、，其中，a、b、c均为个位数.现甲、乙、丙同时独立解答此题，若他们中恰有一人解出此题的概率为均未解出此题的概率为.
二、解答题（共56分）
111abc7，则他们三人15
9.（16分）已知正项数列?an?满足
2anan?1?anan?2?4anan?1?an?3anan?1且?1a1?1,a2?8.求?an?的通项公式.
10.（20分）设f(x)?ax?bc?c(a?2).证明：集合x?1?f(x)?1中至多包含两个整数.
11.（20分）求内接于抛物线y2?2px的正三角形中心的轨迹方程.
2??
加 试
一、（40分）给定正整数n、k(n?k)，及x1,x2,,xk?0.求出xk?1,xk?2,,xn?0，使得
xi取最小值. ?x1?i、j?nj
r2r1?r2）二、（40分）如图1，半径为r1、（的两圆交于A、B两点，R是半径为r1的圆上任
意一点（不在另一圆内），RA、RB与另一圆分别交于点P、Q.
（1）用r1、r2及?ARB表示PQ的长度；
（2）证明：两圆正交（即交点处切线互相垂直）的充分必要条件为PQ?2r2.
三、（50分）试确定平面上是否存在满足下述条件的两个不相交的无限点集X、Y：
（1）在XY中，任何三点不共线，且任何两点的距离至少为1；
（2）任何一个顶点在Y中的三角形，其内部均存一个X中的点，任何一个顶点在X中的三角形，其内部均存在一个Y中的点.
2018年江西省上饶县中学高中奥林匹克数学竞赛训练试题195Word版缺答案
