八年级数学下册知识点总结
第十六章
a
二次根式
1. 二次根式 ：式子 a （ ≥0）叫做二次根式。 2. 二次根式 有意义的条件 ： 3. 二次根式的 双重非负性 ： a ：
附：具有非负性的式子：
大于或等于 0。
0，
a
a 0 a2
a 0 ； a 0 ；
0
4. 最简二次根式： 必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 不含根式。
5. 同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被 次根式。
6. 二次根式的性质：
（ 1）（ a ）2 =a （ a ≥0）； 7. 二次根式的运算：
⑵被开方数中不含分母；⑶分母中
相同，则这几个二次根式就是同类二
（ ＞ 0）
（2） a 2
a
0 （ =0）； （ ＜ 0）
（1）二次根式的 加减法 ：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（2）二次根式的 乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）
仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab = a · b （a≥0，b≥0）；
b
b
（b≥ 0， a>0）．
a
a
?乘法对加法的分配律
（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，
以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【典型例题】
1、概念与性质
例 1 下列各式 1）
1
, 2)
5,3)
x
2
5
2, 4) 4,5) ( ) ,6) 1 a,7) a2 2a 1 ，
3
12
其中是二次根式的是 _________（填序号）．
例 2、求下列二次根式中字母的取值范围
x 5
1 3
x ；
（ 1） （2）
(x - 2)
2
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例 3、 在根式 1)
a
2
b ;2)
2x
;3) x2
xy ;4) 27abc ，最简二次根式是（
）
5
A． 1) 2)
例 4、已知：
y1 8 x
B
． 3) 4) C
． 1) 3)
D
．1) 4)
8 x 1
1
, 求代数式
2
x y y x
2
x y y x
2的值。
例 5、 （2009 龙岩）已知数 a，b，若 (a b) 2
=b－a，则 ()
A. a>b
B. a
2、二次根式的化简与计算 例 1. 将
A.
；
根号外的 a 移到根号内，得 (
B. －
1
；
C. －
) ；
D.
例 2. 把（ a－b） － a－ b 化成最简二次根式
例 3、计算：
例 4、先化简，再求值：
1 a b
1 b
b a(a b)
，其中 a=
5 1 2
，b=
5 1 2
．
2
例 、如图，实数 a 、 b 在数轴上的位置，化简
5 4、
（1）、根式变形法
2
2
： a
b (a b)
比较数值
当 a 0, b 0 时，①如果 a
b ，则 a b ；②如果 a b ，则 a b 。
例 1、比较 3 5 与 5 3 的大小。
（2）、平方法
当 a 0, b 0 时，①如果 a2
b2 ，则 a b ；②如果 a2 b2 ，则 a b 。
例 2、比较 3 2 与 2 3 的大小。
（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
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例 3、比较
2 3 1
与
1 的大小。 2 1
（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例 4、比较 15
14 与 14
13 的大小。
（5）、倒数法
例 5、比较 7
6 与 6 5 的大小。
（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例 6、比较 7 3 与 87 3的大小。
（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ① a b 0 a b ；② a b 0 a b 例 7、比较
2
1
与 2 的大小。
3
3 1
（8）、求商比较法
它运用如下性质：当 a>0，b>0 时，则：
aa① 1a b ； ② 1 a b
b
b
例 8、比较 5
3 与 2 3 的大小。
5 、规律性问题
例 1. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证：
；
验证 :
. （1）按照
上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
4 4 的变形结果，并进行验证；
15
（ 2）针对上述各式反映的规律， 写出用 n(n ≥2，且 n 是整数 ) 表示的等式， 并给出验证过程 .
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第十七章
勾股定理
1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a ，b，斜边长为 c，那么 a2 b2 c2 。应
用：
（ 1）已知直角 三角形的两边求第三边 （ 在 ABC 中， C
90 ，则 c
a2 b2 ，b c2 a2 ，
a
c2 b2 ）
（ 2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。
2. 勾股定理逆定理： 如果三角形三边长 a ,b,c 满足 a2 b2 c2 ，那么这个三角形是直角
三角形。
应用： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。
（定理中 a ，b ，c 及 a 2 b2 c2 只是一种表现形式， 不可认为是唯一的， 如若三角形三 边长 a ， b ，c 满足 a 2 c2 b 2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为 斜边）
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3、勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 b 2 c2 中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ；6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等 ③勾股数扩大相同的的倍数依然是一组新的勾股数。如 ka,kb,kc 4. 直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠ C=90° ∠A+∠B=90° （2）在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
BC= AB
1
2
∠C=90°
（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
CD= AB=BD=AD
1
2
D 为 AB的中点
5. 经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那 么另一个叫做它的逆命题。 （例：勾股定理与勾股定理逆定理）6、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ ACB=90° CD 2 AD ? BD
AC 2 AD ? AB
CD⊥AB
7、常用关系式
BC 2 BD ? AB
由三角形面积公式可得： AB? CD=AC?BC
8、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2 、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3 、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a， b， c 有关系 a 2 b2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
9、命题、定理、证明 1、命题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义包括两层含义： （ 1）命题必须是个完整的句子；
（ 2）这个句子必须对某件事情做出判断。 2、命题的分类 （按正确、错误与否分）
真命题（正确的命题）
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