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思维特训(一) 配方法的妙用
方法点津 ·
1．将多项式或多项式的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或完全平方式与一个代数式的和的形式，这种方法称为配方法．
2．配方法主要有两种变形： (1)添加中间项，形如： a2＋b2＝(a?b)2±2ab. (2)添加平方项，形如： a2±2ab＝(a±b)2－b2. 典题精练 ·
类型一 利用配方法求代数式的最值
利用配方法求代数式的最值主要有两种情况：(a±b)2＋m≥m，－(a±b)2＋m≤m. 1．先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4. ∵(y＋2)2≥0， ∴(y＋2)2＋4≥4， ∴y2＋4y＋8的最小值是4. 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式m2＋m＋1的最小值； (2)求代数式4－x2＋2x的最大值；
(3)求证：代数式a2＋6a＋12的值一定是正数． 类型二 利用配方法比较两个代数式的大小
比较两个代数式的大小常用作差法，可结合配方法，利用完全平方式的非负性解决问题． 2．已知M＝x＋2，N＝x2－x＋5，Q＝x2＋5x－19，其中x＞2. 教育资源
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(1)求证：M＜N； (2)比较M与Q的大小． 拓展：
(3)设正方形的面积为S1 cm2，长方形的面积为S2 cm2，正方形的边长为a cm，如果长方形的一边长比正方形的边长少3 cm，另一边长为4 cm，请你比较S1与S2的大小，并说明理由．
类型三 利用配方法求字母的值
对于含五项或六项的多项式的值为0类问题，可考虑双配方法得到两个完全平方式的和，进而利用“几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0”的性质求解．
3．先阅读后解题．
已知m2＋2m＋n2－6n＋10＝0，求m和n的值． 解：把等式的左边分解因式： (m2＋2m＋1)＋(n2－6n＋9)＝0， (m＋1)2＋(n－3)2＝0. ∵(m＋1)2≥0，(n－3)2≥0，
∴m＋1＝0，n－3＝0，即m＝－1，n＝3. 利用以上解法，解答下列问题：
(1)已知：x2－4x＋y2＋2y＋5＝0，求x和y的值；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝12a＋8b－52，且△ABC为等腰三角形，求c的值．
类型四 利用配方法因式分解
4．下面是某同学用配方法及平方差公式把多项式x2－3x－40进行因式分解的解答过程：
图1－1
老师肯定了这名同学的解题思路，同时又指出在解题过程中存在错误． (1)请你给出正确的解答过程．
(2)利用这名同学的解题思路分解下列因式： 教育资源
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①a2－8a＋12；②a2＋4ab＋3b2. 5．已知a，b，c为△ABC的三边长． (1)求证：a2－b2＋c2－2ac＜0；
(2)当a2＋2b2＋c2＝2b(a＋c)时，试判断△ABC的形状． 类型五 利用配方法化简二次根式
6．配方法是一种常用的数学方法，用配方法可将6－2 5写成完全平方式的形式： 6－2 5 ＝5＋1－2 5 ＝(5)2＋(1)2－2 5 ＝(5－1)2.
利用这个方法解决下列问题： (1)5＋2 6＝(2＋________)2， 5－2 6＝(2－________)2； (2)化简：11－2 30＋7－2 10； (3)当1≤x≤2时，化简： x＋2x－1＋x－2x－1.
131333
1．解：(1)m2＋m＋1＝m2＋m＋＋＝(m＋)2＋≥，∴m2＋m＋1的最小值是. 442444(2)4－x2＋2x＝－x2＋2x－1＋5＝－(x－1)2＋5≤5，∴4－x2＋2x的最大值是5. (3)证明：a2＋6a＋12＝a2＋6a＋9＋3＝(a＋3)2＋3， ∵(a＋3)2≥0， ∴(a＋3)2＋3≥3，
∴a2＋6a＋12的值一定是正数．
2．解：(1)证明：∵M＝x＋2，N＝x2－x＋5，
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∴N－M＝x2－x＋5－(x＋2)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2. ∵(x－1)2≥0， ∴(x－1)2＋2＞0. ∴N－M＞0， ∴M＜N.
(2)Q－M＝x2＋5x－19－(x＋2)＝x2＋4x－21＝(x＋2)2－25.
①当2＜x＜3时，(x＋2)2－25＜0，∴Q＜M；②当x＝3时，(x＋2)2－25＝0，∴Q＝M； ③当x＞3时，(x＋2)2－25＞0，∴Q＞M. (3)S1＞S2.
理由：S1－S2＝a2－4(a－3)＝a2－4a＋12＝a2－4a＋4＋8＝(a－2)2＋8. ∵(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋8≥8，∴S1－S2＞0， ∴S1＞S2.
3．解：(1)x2－4x＋y2＋2y＋5＝0， 分组，得(x2－4x＋4)＋(y2＋2y＋1)＝0， 即(x－2)2＋(y＋1)2＝0. ∵(x－2)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴x－2＝0，y＋1＝0，解得x＝2，y＝－1. (2)a2＋b2＝12a＋8b－52，
移项，得a2－12a＋b2－8b＋52＝0， 分组，得(a2－12a＋36)＋(b2－8b＋16)＝0， 即(a－6)2＋(b－4)2＝0. ∵(a－6)2≥0，(b－4)2≥0，
∴a－6＝0，b－4＝0，解得a＝6，b＝4. ∵△ABC为等腰三角形， ∴c＝a或c＝b，且2＜c＜10， 教育资源
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∴c＝4或6.
4．解：(1)正确的解答过程如下： x2－3x－40
33
＝x2－3x＋()2－()2－40
22
3169
＝(x－)2－
24
313313＝(x－＋)(x－－) 2222＝(x＋5)(x－8)．
(2)①a2－8a＋12＝a2－8a＋16－16＋12 ＝(a－4)2－22＝(a－4＋2)(a－4－2) ＝(a－2)(a－6)． ②a2＋4ab＋3b2
＝a2＋4ab＋(2b)2－(2b)2＋3b2 ＝(a＋2b)2－b2 ＝(a＋2b＋b)(a＋2b－b) ＝(a＋3b)(a＋b)．
5．解：(1)证明：a2－b2＋c2－2ac＝(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)．
∵a，b，c为△ABC三边的长，
∴a－c＋b＞0，a－c－b＜0，
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[教育资料]人教版九年级数学上册思维特训（一） 配方法的妙用学习专用
