第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
一、选择题
1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l与α相交
解析 ∵n=-2a,∴a与平面α的法向量平行,∴l⊥α. 答案B
→=λCD→+μCE→,则直线AB与平面CDE的位置关系是( ) 2.若AB
A.相交 B.平行
C.在平面内 D.平行或在平面内
→=λCD→+μCE→,∴AB→,CD→,CE→共面.
解析 ∵AB
则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内. 答案 D
3.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是( ) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4)
→=(1,4,1),
解析 逐一验证法,对于选项A,MP→·n=6-12+6=0,∴MP→⊥n, ∴MP
∴点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内. 答案A 4.(2017·
西
安
月
考)如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有( ) A.B1E=EB B.B1E=2EB 1
C.B1E=2EB D.E与B重合
解析 分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方形的边长为2,则→=(0,1,-2),DE→=(2,2,
D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),D1F
→·DE→=0×2+1×2-2z=0,∴z=1,∴BE=EB.
z),∵D1F1答案A
5.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则: ①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面DCC1D1; ④A1M∥平面D1PQB1. 以上说法正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
→=A1A→+AM→=A1A→+1AB→,D1P→=D1D→+DP→=A1A→+1AB→,∴A1M→∥D1P→,所以解析 A1M
22A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥面DCC1D1,A1M∥面D1PQB1.①③④正确. 答案 C 二、填空题 6.(2017·
武
汉
调
研)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. 解析 设平面α的法向量为m=(x,y,z), →=0,得x·
由m·AB0+y-z=0?y=z, →=0,得x-z=0?x=z,取x=1, 由m·AC∴m=(1,1,1),m=-n,∴m∥n,∴α∥β. 答案α∥β
→=(1,5,-2),BC→=(3,1,z),若AB→⊥BC→,BP→7.(2016·青岛模拟)已知AB
=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=________.
解析
?3+5-2z=0,4015
由条件得?x-1+5y+6=0,解得x=7,y=-7,z=4,
?3(x-1)+y-3z=0,25 7
401525
∴x+y=7-7=7. 答案
8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(4,2,0),
→AP
→AB
=(2,-1,-4),
→AD→AP
=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③
→∥BD→.其中正确的序号是________.
是平面ABCD的法向量;④AP→·AP→=0,AD→·AP→=0,
解析 ∵AB
→与AD→不平行,
∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确.又AB→是平面ABCD的法向量,则③正确. ∴AP
→=AD→-AB→=(2,3,4),AP→=(-1,2,-1), 由于BD
→与AP→不平行,故④错误. ∴BD答案 ①②③ 三、解答题
9.如图,四边形ABCD为正方形,PDPD.证明:平面PQC⊥平面DCQ.
⊥
平面ABCD,PD
∥
QA,QA=AB=
12
证
明
如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA,DP,DC分别为x轴,y轴,z
轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.
依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),
→=(1,1,0),DC→=(0,0,1),PQ→=(1,-1,0).则DQ
→·→=0,PQ→·→=0.∴PQDQDC即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,
又DQ∩DC=D,∴PQ⊥平面DCQ,
又PQ?平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ.
10.(2017·郑州调研)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用精练:第八章第7讲 立体几何中的向量方法——证明平行与垂直 Word版
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