第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
一、选择题
1.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l与α相交
解析 ∵n＝－2a，∴a与平面α的法向量平行，∴l⊥α. 答案B
→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是( ) 2.若AB
A.相交 B.平行
C.在平面内 D.平行或在平面内
→＝λCD→＋μCE→，∴AB→，CD→，CE→共面.
解析 ∵AB
则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内. 答案 D
3.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是( ) A.P(2，3，3) B.P(－2，0，1) C.P(－4，4，0) D.P(3，－3，4)
→＝(1，4，1)，
解析 逐一验证法，对于选项A，MP→·n＝6－12＋6＝0，∴MP→⊥n， ∴MP
∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内. 答案A 4.(2017·
西
安
月
考)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有( ) A.B1E＝EB B.B1E＝2EB 1
C.B1E＝2EB D.E与B重合
解析 分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则→＝(0，1，－2)，DE→＝(2，2，
D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，D1F
→·DE→＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴BE＝EB.
z)，∵D1F1答案A
5.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则： ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q； ③A1M∥平面DCC1D1； ④A1M∥平面D1PQB1. 以上说法正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
→＝A1A→＋AM→＝A1A→＋1AB→，D1P→＝D1D→＋DP→＝A1A→＋1AB→，∴A1M→∥D1P→，所以解析 A1M
22A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确. 答案 C 二、填空题 6.(2017·
武
汉
调
研)已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. 解析 设平面α的法向量为m＝(x，y，z)， →＝0，得x·
由m·AB0＋y－z＝0?y＝z， →＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1， 由m·AC∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β. 答案α∥β
→＝(1，5，－2)，BC→＝(3，1，z)，若AB→⊥BC→，BP→7.(2016·青岛模拟)已知AB
＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.
解析
?3＋5－2z＝0，4015
由条件得?x－1＋5y＋6＝0，解得x＝7，y＝－7，z＝4，
?3（x－1）＋y－3z＝0，25 7
401525
∴x＋y＝7－7＝7. 答案
8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(4，2，0)，
→AP
→AB
＝(2，－1，－4)，
→AD→AP
＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③
→∥BD→.其中正确的序号是________.
是平面ABCD的法向量；④AP→·AP→＝0，AD→·AP→＝0，
解析 ∵AB
→与AD→不平行，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确.又AB→是平面ABCD的法向量，则③正确. ∴AP
→＝AD→－AB→＝(2，3，4)，AP→＝(－1，2，－1)， 由于BD
→与AP→不平行，故④错误. ∴BD答案 ①②③ 三、解答题
9.如图，四边形ABCD为正方形，PDPD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.
⊥
平面ABCD，PD
∥
QA，QA＝AB＝
12
证
明
如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x轴，y轴，z
轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.
依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，
→＝(1，1，0)，DC→＝(0，0，1)，PQ→＝(1，－1，0).则DQ
→·→＝0，PQ→·→＝0.∴PQDQDC即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
又DQ∩DC＝D，∴PQ⊥平面DCQ，
又PQ?平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.
10.(2017·郑州调研)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用精练：第八章第7讲 立体几何中的向量方法——证明平行与垂直 Word版
