重点高中数学第三章统计案例31回归分析的基本思想及其初步应用(第1课时)教案新人教A版选修23
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内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 3．1 回归分析的基本思想及其初步应用
整体设计
教材分析 1．教材的地位和作用
高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修3和选修12(文科)、选修23(理科)中．《数学3(必修)》中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路．“线性回归分析”是其介绍的一种分析、整理数据的方法．在这一部分中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想、利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容．然而在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，它们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，本节就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如何建立非线性关系的回归模型．通过本节的学习，使学生了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，学会以科学的态度评价两个变量的相互关系，培养学生运用所学内容解决实际问题的能力．
2．课时划分
《回归分析的基本思想及其初步应用》的教学分四个课时完成．第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果；第二课时：从相关系数、相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用．
第一课时
教学目标 知识与技能
通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用． 过程与方法
让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用；通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法．
情感、态度与价值观
从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心、求知欲；通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力；通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取之生活，用于生活”的意识，提高学习兴趣．
重点难点
教学重点：理解回归分析的基本思想，掌握求回归直线方程的步骤以及对随机误差e的认识．
教学难点：掌握利用回归分析的基本思想处理实际问题的方法，理解随机误差的来源和对预报变量的影响．
教学过程
引入新课
“名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？
活动设计：学生独立思考回答问题．
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学情预测：学生可能会说“有名气的老师不一定能教出厉害的学生”． 教师提问：为什么？
学情预测：两者之间有一定的关系，但不是必然关系，即名师也不一定出高徒，二者之间是相关关系．
设计意图：复习两个变量之间的关系，为线性分析做好铺垫．
提出问题：我们知道函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．上面所提的“名师”与“高徒”之间的关系就是相关关系．那么，在一般情况下，人的身高与体重之间是什么关系？试设计一个方案，来分析某大学女大学生的身高与体重之间的关系，并以此为依据来预报身高172 cm的女大学生的体重．
学生活动：学生独立思考，小组合作交流讨论．
活动结果：可以采用统计的方法解决这一问题，先采用随机抽样的方法，从在校女大学生中抽取样本，记录其身高和体重，然后通过所得数据建立线性回归模型，并根据所得模型来预报身高为172 cm女生的体重．其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报．
设计目的：合理设计问题，使学生进一步掌握用统计方法解决问题的基本步骤：提出问题、收集数据、分析整理数据、进行预测或决策．
探究新知
若从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重．
学生活动：分组合作探究，查阅课本中的计算公式． 活动结果：1.画散点图
选取身高为自变量x，体重为因变量y，画出散点图形象展示两个变量之间的关系，并判断二者是否具有线性关系．
由散点图可以发现，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归直线近似刻画它们之间的关系．
2．建立回归方程
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由计算器可得a ＝－85.712，b ＝0.849.
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于是得到回归方程为y ＝0.849x－85.712. 3．预报和决策
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当x＝172时，y ＝0.849×172－85.712＝60.316(kg)．
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即一名身高为172 cm的女大学生的体重预报值为60.316 kg.
设计目的：进一步熟悉线性回归分析的具体步骤．提高学生的数据处理能力，并让学生在应用中进一步掌握公式的应用．
理解新知 提出问题：散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关性，那么还有什么方法可以描述线性相关性的强弱？
学生活动：独立思考或相互讨论． 活动结果：还可以通过必修3中的相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关关系的强弱．
提出问题：如何根据相关系数r描述线性相关性的强弱？相关系数的计算公式是什么？ 学生活动：独立思考或相互讨论，查阅课本． 活动结果：其具体计算公式是
n
? (xi－x
i＝1
)(yi－y)
n2
r＝
n
? (xi－x)? (yj－y
i＝1
j＝1
)
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当r>0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关．r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．
提出问题：在本例中，身高和体重的线性相关系数是多少？我们建立的线性回归方程是否有实际意义？
学生活动：独立计算，求解相关系数．
活动结果：利用计算器可求得r＝0.798，这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义的．
设计目的：复习判断变量线性相关的方法，进一步熟悉线性相关系数的计算公式． 提出问题：身高为172 cm的女大学生的体重一定是60.316 kg吗？ 学生活动：独立思考也可相互讨论．
学情预测：不一定，但一般可以认为她的体重在60.316 kg左右． 提出问题：为什么根据得到的一次函数求出的结论不一定是实际值？产生误差的原因是什么？
学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示． 活动结果：观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数y＝bx＋a来严格刻画(因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系)．在数据表中身高为165 cm的3名女大学生的体重分别为48 kg、57 kg和61 kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165 cm的3名女大学生的体重应相同．这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，如生理因素、饮食锻炼、测量工具等其他因素．
为了更准确地刻画身高和体重的关系，可用下列线性回归模型来表示：y＝bx＋a＋e.我们把自变量x称作解释变量，因变量y称作预报变量，e称为随机误差．
提出问题：函数模型y＝bx＋a与线性回归模型y＝bx＋a＋e有什么关系？ 学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示．
活动结果：线性回归模型：y＝bx＋a＋e当理想化时，即所有人的遗传因素都一样、所
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