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2004年全国高中数学联赛试题
【第一试】
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
21、设锐角q使关于x的方程x?4xcos??cot??0有重根，则q的弧度数
为
??5??5??或或A．6 B。1212 C。612 D。12 答：[ ] 2、已知
M=?(x,y)|x2?2y2?3，N=?(x,y)|y?mx?b?，若对于所有的
?m?R，均有M?N??,则b的取值范围是
?666623232323,?,?,?,22] B。（22）C。（33） D。[33]
A．[
答：[ ]
log2x?1?1log1x3?2223、不等式>0的解集是
A．[2，3] B。（2，3） C。[2，4] D。（2，4） 答：[ ] 4、设O点在△ABC内部，且有OA?2OB?3OC?0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为
35A．2 B。2 C。3 D。3 答：[ ]
5、设三位数n?abc，若以a,b,c为三条边的长可以构成一个 等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有
A．45个 B。81个 C。165个 D。216个 答：[ ]
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6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C是PA的中点，则当三棱锥O—HPC的体积最大时，OB的长是
525626A．3 B。3 C。3 D。3 答：[ ]
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、在平面直角坐标系xoy中，函数f(x)?asinax?cosax(a?0)在一个最小正
2g(x)?a?1的图像所围成的封闭图形的面积是周期长的区间上的图像与函数
_____________。
8、设函数f:R?R,满足f(0)?1，且对任意的x,y?R，都有f(xy?1)=
f(x)f(y)?f(y)?x?2，则f(x)?________________。
9、如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，二面角A?BD1?A1的度数是______________。
2k?pk也 pk 10、设是给定的奇质数，正整数使得
是一个正整数，则k=________________。 11、已知数列
a0,a1,a2,...,an...,满足关系式
n1?(3?an?1)(6?an)?18a0?3且，则i?0ai的值是______。
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12、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M（-1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是___________。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2，则算过关。问： （Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？ （Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？
（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）
4 14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点A（0，3），B（-1，0），C（1，
n0）。点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中顶。 （Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。
2 15、已知?、?是方程4x?4tx?1?0（t?R）的两个不等实根，函数f(x)?
2x?tx2?1的定义域为[?，?]。
（Ⅰ）求g(t)?maxf(x)?minf(x);
ui?(0,)2(i?1,2,3)，若sinu1?sinu2?sinu3?1，则 （Ⅱ）证明：对于
1113???6g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)4?。
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【第二试】
一、（本题满分50分）
在锐角△ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相 交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点， FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求 AK的长。
二、（本题满分50分）
?A? 在平面直角坐标系xoy中， y轴正半轴上的点列n与曲线y?2x（x≥0）
上的点列坐标为
bn?Bn?满足
，
OAn?OBn?1ABaBn，直线nn在X轴上的截距为n，点n的横
n?N?。
（Ⅰ）证明
an>
an?1?n?N>4，。
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bnbn?1b2b3??...??n0?N??n?n0bn?1bn 三、（本题满分50分） 对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合 ?m,m?1,...,m?n?1?的任一个f(n)元子集中，均有至少3个两两互素的元素。
2004年全国高级中学数学联赛试题及参备考资料答案解析
