§2 抛物线
2.1 抛物线及其标准方程
第1课时 抛物线及其标准方程
课时过关·能力提升
1.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( ) A.y=-3x2 B.y2=9x
C.y2=-9x或y=3x2 D.y=-3x2或y2=9x 答案:D
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为( ) A.(-1,0)
B.(1,0)
C.(0,-1)
D.(0,1)
??
??
解析:抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=?2,由题设知?2=?1,即p=2,则焦点坐标为(1,0),故选B. 答案:B
3.若抛物线y=2px的焦点与椭圆A.-2 解析:椭圆
??26
2
??26
+
??22
=1的右焦点重合,则??的值为( )
B.2 +
??22
C.-4 D.4
=1的右焦点为(2,0),所以抛物线y2=2px的焦点为(2,0),则p=4,故选D.
答案:D
4.抛物线y2=4px(p>0)上一点Q到焦点的距离为m,则点Q到y轴的距离为( ) A.m-p B.m+p C.m?2
D.2+2??
解析:设Q(x,y),由题意,得x+p=m,∴x=m-p. 故点Q到y轴的距离为m-p. 答案:A
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( ) A.|P1F|+|P2F|=|P3F| B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2 C.2|P2F|=|P1F|+|P3F| D.|P2F|2=|P1F|·|P3F|
解析:因为P1,P2,P3在抛物线上,且2x2=x1+x3,两边同时加上p,
??????
得2(??2+)=??1++??3+,
222即2|P2F|=|P1F|+|P3F|,故选C. 答案:C 6.以椭圆16+
??2
??29
??
=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为______________.
解析:∵椭圆的方程为16+
??2??29
=1,∴右顶点为(4,0).
??
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则2=4, 即p=8,
∴抛物线的标准方程为y2=16x. 答案:y2=16x
7.抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则点P的坐标为 . 解析:y2=x的准线为x=?4,焦点为(4,0). 设点P(x1,y1),由抛物线的定义,知x1+4=2, 所以x1=2?4=4.
2由??1=4,得y1=±
7
√7. 2
1
7
1
1
1
故点P的坐标为(4,±答案:(4,±
7
√7) 2
7
√7). 2
8.动点P到直线x+4=0的距离比它到点M(2,0)的距离大2,则点P的轨迹方程是 .
解析:由题意可知,动点P到直线x+2=0的距离与它到点M(2,0)的距离相等,利用抛物线的定义求出点P的轨迹方程为y2=8x. 答案:y2=8x
9.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为 .
解析:因为抛物线方程为y2=4x,所以准线方程为x=-1.
设点P坐标为P(x0,y0),由图可知|PM|=x0+1=5,所以x0=4.
把x0=4代入y2=4x,解得y0=±4,所以△MPF的面积为2|????|·|y0|=2×5×4=10. 答案:10
10.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m的值; (2)求抛物线的焦点坐标和准线方程. 解:(1)由题意知,抛物线开口向左. 设方程为y2=-2px(p>0).
1
1
∵点M到焦点F的距离是5, ∴|MF|=2?(?3)=5. ∴p=4,∴抛物线方程为y2=-8x. ∵点M(-3,m)在抛物线上,∴m2=-8×(-3). ∴m=±2√6.
(2)由抛物线的定义知,焦点坐标(-2,0),准线方程是x=2. 11.★分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
??
(1)已知抛物线的准线方程为y+1=0; (2)过点(3,-4);
(3)焦点在直线x+3y+15=0上; (4)焦点到准线的距离为2.
解:(1)∵准线方程为y+1=0,即y=-1,
5
∴可设该抛物线的标准方程为x2=2py(p>0). 由题意,得?2=?1,故p=2.
因此所求抛物线的标准方程为x2=4y. (2)∵点(3,-4)在第四象限,
??
∴抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).
把点(3,-4)的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y,得(-4)2=2p·3,32=-2p1·(-4), 即2p=
163
,2??1=4.
163
9
∴所求抛物线的标准方程为y2=(3)令x=0,得y=-5; 令y=0,得x=-15.
??或x2=?4??.
9
∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).
∴所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x. (4)由焦点到准线的距离为2,可知p=2,
5
5
∴所求抛物线的标准方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.
12.★抛物线的焦点F在x轴上,点A(m,-3)在抛物线上,且|AF|=5,求抛物线的标准方程.
同步北师大版数学选修2-1检测：第三章 §2 2.1 第1课时 抛物线及其标准方程
