高中数学第一章导数及其应用1.3.3最大值与最小值学业分层测评苏教版

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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用

1.3.3 最大值与最小值学业分层测评 苏教版选修2-2

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、填空题 1．函数f(x)＝

1

＋x(x∈1,3])的最小值是________． x＋1

1

【解析】 f′(x)＝－

x＋1

x2＋2x， 2＋1＝

x＋12

当x∈1,3]时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 3

∴f(x)在x∈1,3]上的最小值为f(1)＝. 23

【答案】

2

2．函数f(x)＝x－x－x＋a在区间0,2]上的最大值是3，则a的值为________． 【解析】 f′(x)＝3x－2x－1，x∈0,2]， 1??令f′(x)＝0，得x＝1?x＝－舍去?. 3??又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2， ∴f(x)在0,2]上的最大值为a＋2＝3，∴a＝1. 【答案】 1

3．(2016·南通高二检测)若函数f(x)＝x－3x－a在区间0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝______.

【解析】 ∵f′(x)＝3x－3， ∴当x>1或x<－1时，f′(x)>0， 当－1

∴f(x)在0,1]上单调递减，在1,3]上单调递增． ∴f(x)最小值＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n. 又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)

4．若对任意的x>0，恒有ln x≤px－1(p>0)，则p的取值范围是________.

【导学号：01580018】

2

3

2

3

2

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【解析】 原不等式化为ln x－px＋1≤0， 令f(x)＝ln x－px＋1，只需f(x)最大值≤0.

1?1??1?由f′(x)＝－p知f(x)在?0，?上单调递增，在?，＋∞?上单调递减．

x?p??p?

?1?∴f(x)最大值＝f??＝－ln p， p??

由f(x)最大值≤0，得p≥1. 【答案】 1，＋∞)

5．设直线x＝t与函数f(x)＝x，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为_______________．

【解析】 设h(x)＝x－ln x， 12x－1易知h′(x)＝2x－＝，x>0，

22

2

xxx＝2

是h(x)在x∈(0，＋∞)内惟一极小值点， 2

且h?

?2?111

?＝－ln >0，则|MN|最小值＝h(x)最小值， ?2?222

2. 2

∴MN达到最小时，t＝【答案】

2 2

6．(2016·扬州质检)已知函数f(x)＝ln x－(m∈R)在区间1，e]上取得最小值4，则

mxm＝________.

1mx＋m【解析】 f′(x)＝＋2＝2(x>0)．当m≥0时，f′(x)>0，f(x)在1，e]上为增函

xxx数，f(x)最小值＝f(1)＝－m＝4，则m＝－4.与m≥0矛盾．当m<0时，若－m<1，即m>－1，

f(x)最小值＝f(1)＝－m＝4，则m＝－4，与m>－1矛盾，若－m∈1，e]，即－e≤m≤－1，f(x)

最小值

＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e，与－e≤m≤－1矛盾．若－m>e.即m<－e时，

e

3

mf(x)最小值＝f(e)＝1－＝4.解得m＝－3e符合题意．

【答案】 －3e

7．(2016·常州高二检测)已知函数f(x)＝2＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________________．

【解析】 由2＋2ln x≥2恒成立，得a≥x·2(1－ln x)恒成立．

axax2

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令h(x)＝2x(1－ln x)，则h′(x)＝2x(1－2ln x) ∵x>0，∴当00；当x>e时，h′(x)<0. ∴h(x)最大值＝h(e)＝e.∴a≥e.即实数a的取值范围是e，＋∞)． 【答案】 e，＋∞) 8．若函数f(x)＝

2

x2

x＋a(a>0)在1，＋∞)上的最大值为

3

，则a的值为________． 3

x2＋a－2x2a－x2

【解析】 f′(x)＝＝2

x2＋a2x＋a2

，当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当－a0，f(x)单调递增，当x＝a时，f(x)＝不合题意．

13

∴f(x)最大值＝f(1)＝＝，a＝3－1.

1＋a3【答案】 二、解答题

9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x. (1)讨论f(x)的单调性；

2

a33

＝，a＝<1，2a32

3－1

?31?(2)求f(x)在区间?－，?上的最大值和最小值．

?44??3?【解】 易知f(x)的定义域为?－，＋∞?. ?2?

24x＋6x＋2

(1)f′(x)＝＋2x＝

2x＋32x＋3＝2

2x＋1x＋1

.

2x＋3

2

3

当－0；

21

当－1

21

当x>－时，f′(x)>0，

2

1??3??1??从而f(x)在区间?－，－1?，?－，＋∞?上单调递增，在区间?－1，－?上单调递减． 2??2??2??1?31??1?(2)由(1)知f(x)在区间?－，?上的最小值为f?－?＝ln 2＋.

4?44??2?3971?3??1?又因为f?－?－f??＝ln＋－ln－

216216?4??4?

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