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本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动． (1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为
21时，求OA的长； 2(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．
【答案】(1)点C的坐标为(2，3+23)；(2)OA＝32；(3)OC的最大值为8，cos∠OAD＝【解析】 【分析】
(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝30°知OD＝
5． 51CD＝2，DE＝CD2?CE2?23，再由∠OAD＝21AD＝3，从而得出点C坐标； 2921(2)先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2
221＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；
2(3)由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC
CDDMCM??，ONMNOM9126AN据此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝ON2?AN2及cos∠OAD＝可得答
555OAON⊥AD，有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，证△CMD∽△OMN得案． 【详解】
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(1)如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵矩形ABCD中，CD⊥AD， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠CDE＝∠OAD＝30°， ∴在Rt△CED中，CE＝
1CD＝2，DE＝CD2?CE2＝23， 2在Rt△OAD中，∠OAD＝30°， ∴OD＝
1AD＝3， 2∴点C的坐标为(2，3+23)； (2)∵M为AD的中点， ∴DM＝3，S△DCM＝6， 又S四边形OMCD＝∴S△ODM＝
21， 29， 21xy＝9， 2∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18， 解得x＝32(负值舍去)， ∴OA＝32； (3)OC的最大值为8， 如图2，M为AD的中点，
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∴OM＝3，CM＝CD2?DM2＝5， ∴OC≤OM+CM＝8，
当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，
连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N， ∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN， ∴△CMD∽△OMN，
CDDMCM435????， ，即ONMNOMONMN3912解得MN＝，ON＝，
556∴AN＝AM﹣MN＝，
5∴
在Rt△OAN中，OA＝ON2?AN2?65， 5∴cos∠OAD＝【点睛】
AN5． ?OA5 本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣
2x+4的图象与x轴和y轴分别相交3于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒． （1）当t=
1秒时，点Q的坐标是 ； 3（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式； （3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．
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【答案】（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为32． 【解析】 【分析】
33243924t；②当1＜t≤时，S =﹣t+18t；③当＜t≤2时， 4343（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；
（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；
（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论． 【详解】 （1）令y=0， ∴﹣
2x+4=0， 3∴x=6， ∴A（6，0）， 当t=
11秒时，AP=3×=1， 33∴OP=OA﹣AP=5， ∴P（5，0），
由对称性得，Q（4，0）；
（2）当点Q在原点O时，OQ=6， ∴AP=
1OQ=3， 2∴t=3÷3=1，
①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，
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∴y=4， ∴B（0，4）， ∴OB=4， ∵A（6，0）， ∴OA=6，
在Rt△AOB中，tan∠OAB=由运动知，AP=3t， ∴P（6﹣3t，0）， ∴Q（6﹣6t，0）， ∴PQ=AP=3t，
∵四边形PQMN是正方形， ∴MN∥OA，PN=PQ=3t， 在Rt△APD中，tan∠OAB=∴PD=2t， ∴DN=t， ∵MN∥OA ∴∠DCN=∠OAB， ∴tan∠DCN=∴CN=
OB2=， OA3PDPD2??， AP3t3DNt2??， CNCN33t， 2∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣②当1＜t≤
13332t×t=t； 22443时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=t， 32 30
专题04 几何最值存在性问题(解析版)
