第五讲 多元微分学
知识结构：
1
§5.1 多元函数
一、知识要点
1.平面点集 1.1邻域
平面点集?x,y?|?x?x0???y?y0???2 与??x,y?|x?x0??,y?y0???分
2
2
??别称为以点A?x0,y0?为中心的?圆领域与?方领域，并以记号U(A;?)来表示；
点A?x0,y0?的空心邻域是指
?x,y?|0??x?x0???y?y0???2
2
2
??或 1.2 五个点 (1) 内点
??x,y?|x?x
0
??,y?y0??,?x,y???x0,y0??
若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)?E，则称点A是点E的内点；E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作intE． (2) 外点
若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)?E??，则称A是点集E的外点． (3) 界点
若在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点．则称A是集合E的界点．即对任何正数?，恒有
U?A;???E??且U?A;???cE??,
其中cE?R2\\E是E关于全平面的余集，记作?E． E的全体界点构成E的边界，(4) 聚点
若在点A的任何空心邻域U?(A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点，聚点本身可能属于E，也可能不属于E． (5) 孤立点
若点A?E，但不是E的聚点，即存在某一正数?，使得U
2
0
?A;???E??，
则称点A是正的孤立点． 1.3五个集合 (1) 开集
若平面点集所属的每一点都是E的内点(即intE?E)，则称E为开集． (2) 闭集
若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集．若点集E没有聚点，这时也称E为闭集. (3) 开域
若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于正的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接，则称E为开域(或称连通开集)． (4) 闭域
开域连同其边界所成的点集称为闭域． (5) 区域
开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域． 2.完备性定理 2.1点列极限
设?Pn??R2为平面点列，P0?R2为一固定点.若对任给的正数?，存在正整数
N，使得当n?N时，有Pn???Po;??，则称点列?Pn?为收敛于点P0，记作 limPn?P0 或 Pn?P0,n??.
n??
2.2柯西准则
平面点列?Pn?收敛的充要条件是：任给正数?，存在正整数N，使得当n?N时，对一切正整数p，都有
??pn,pn?p??? 2.3闭域套定理
设?Dn?是R2中的闭域列，它满足：
① Dn?Dn?1,n?1,2,?;② dn?d?Dn?,limdn?0,
n??
3
则存在惟一的点P0?Dn，n?1,2,?. 2.4聚点定理
设E?R2为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点. 2.5致密性定理
有界无限点列{Pn}?R2必存在收敛子列{Pnk}. 2.6有限覆盖定理
??
设D?R2为一有界闭域，{??}为一开域族，它覆盖了D?即D???????，则
???
n
??
在????中必存在有限个开域?1,?2,?,?n,，它们同样覆盖了D?即D???i???.
i?1??
3. 二元函数的定义
设平面点集D?R2，若按照某对应法则f，D中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z与之对应，则称f(x,y)为定义在D上的二元函数(或称f(x,y)为D到
R的一个映射)，记作
f:D?R,P?z,
且称D为f的定义域；P?D所对应的z为f在点P的函数值，记作z?f(x,y)或z?f(P)；全体函数的集合为f的值域，记作f?D??R. 通常还把P的坐标x与y称为f(x,y)的自变量，而把z称为因变量． 4. 二重极限 4.1极限定义
设f(P)为定义在D?R2二元函数，P0为的D一个聚点，A是一个确定的实数.若对任给正数?，总存在某正数?，使得当P?Uo?P0;???D时，都有
f?P??A??,
则称f(P)在D上当P?P0时，以A为极限，记作
4
P?PP?D0
limf?P??A.
当P,P0分别用坐标?x,y?,?x0,y0?表示时，
(x,y)?(x0,y0)
lim
f?x,y??A.
4.2 集合与子集极限的关系
P?P0P?D
limf(P)?A的充要条件是：对于D的任一子集E，只要P0是E的聚点，就
有
P?P0P?E
limf(P)?A
P?P0P?E1
P?P0P?D
推论1 设E1?D，P0是E1的聚点，若limf(P)不存在，则limf(P)也不存在．
推论2 设E1,E2?D，P0是它们的聚点，若存在极限 limf(P)?A1,limf(P)?A2，
P?P0
P?E1
P?P0P?E2
但A1?A2，则limf(P)不存在．
P?P0P?D
推论3 极限limf(P)存在充要条件是：对于D中任一满足条件Pn?P0且
P?P0P?D
limPn?P0的点列?Pn?，它所对应的函数列?f?Pn??都收敛．
n??
4.3 非正常极限
设D为二元函数的定义域，P0(x0,y0)是D的一个聚点.若对任给正数M，总存在点P0的一个?领域，使得当P(x,y)?Uo(P0;?)?D时，都有f(P)?M，则称
f(P)在D上当P?P0时，存在非正常极限??，记作
(x,y)?(x0,y0)
lim
f(x,y)???或limf(P)???.
P?P0
仿此可类似的定义：
P?P0
limf(P)???与limf(P)??.
P?P0
4.4 累次极限
设Ex,Ey?R，x0是Ex的聚点，y0是Ey的聚点，二元函数f(x,y)在集合
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数学分析选讲 第五讲 多元微分学
