第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝( ) A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：由2B＝A＋C?3B＝A＋B＋C＝180°，即B＝60°. 答案：C
2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( ) A．43 B．23 C.3 D.3 2
解析：利用正弦定理解三角形． 在△ABC中，＝，
sin Bsin A2
32×
2BC·sin B所以AC＝＝＝23.
sin A3
2答案：B
3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( ) 222266A．－ B. C．－ D. 3333
ACBCab15103
解析：利用正弦定理：＝，＝，所以sin B＝，因为大边对大角
sin Asin B33sin B2
(三角形中)，所以B为锐角，所以cos B＝1－sin B＝
答案：D
4．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )
A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．a＝b?sin 2A＝sin 2B C.
2
6. 3
b＋c＝ sin Asin B＋sin Ca
D．正弦值较大的角所对的边也较大
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝
sin Asin Bsin Cabcksin B，c＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确．
当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a≠b，故B错误． 根据比例式的性质易得C正确． 大边对大角，故D正确． 答案：B
5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：由正弦定理得：＝＝2R，
sin Asin B由a＝bsin A得：
2Rsin A＝2Rsin B·sin A， π
所以sin B＝1，所以B＝. 2答案：B 二、填空题
2π
6．(2015·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝，则∠B＝________．
3解析：由正弦定理，得＝，
sin Asin B即3
62π＝，所以sin B＝，所以∠B＝.
243sin Babab2π
答案： 4
2sin A－sin B7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________．
sin C解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)， 由正弦定理， 得
2sin A－sin B2a－b2×4k－3k＝＝＝1.
sin Cc5k答案：1
8．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则AB边上的高是________．
解析：由正弦定理，所以sin C＝
＝， sin Bsin CACABAB·sin 30°23·sin 30°3
＝＝，
AC22
所以C＝60°或120°，
(1)当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2；
(2)当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1. 答案：1或2 三、解答题
9．在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．
解：由正弦定理得，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，由acos A＝bcos B得，sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B. 因为2A、2B∈(0，2π)， 所以2A＝2B或2A＋2B＝π. π
即A＝B或A＋B＝，
2
所以△ABC为等腰或直角三角形．
cos Ab4
10．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．
cos Ba3sin Bb解：由正弦定理知＝，
sin Aacos Asin B所以＝. cos Bsin A则sin A cos A＝sin B cos B， 所以sin 2A＝sin 2B.
又因为a≠b，所以2A＝π－2B， π
即A＋B＝.
2
所以△ABC是直角三角形，且C＝90°，
a＋b＝10，??由?b4得a＝6，b＝8.
＝，??a3
故内切圆的半径为r＝
222
a＋b－c6＋8－10
2
＝
2
＝2.
B级 能力提升
2sinB－sinA1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的2
sinA值为( )
117A. B. C．1 D. 932
22
absin Bb解析：因为＝，所以＝.
sin Asin Bsin Aab3
因为3a＝2b，所以＝，
a2
sin B3所以＝，
sin A2
22
3?22sinB－sinA?sin B?297?所以＝2－1＝2×－1＝－1＝. ?sin A??2?2
sinA22????
答案：D
1π
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝，C＝，则b26＝________．
1
解析：因为 sin B＝，
2π5π
所以B＝或B＝.
66π
当 B＝时，a＝3，
6
C＝，所以 A＝
π62π， 3
3b由正弦定理得， ＝，则b＝1.
2π1sin
32
5ππ
当B＝时，C＝，与三角形的内角和为π矛盾．
66答案：1
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝2b，求
C.
解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C，利用正弦定理a＋c＝2b可变形为sin A＋sin C＝2sin B，
又因为sin A＝cos C，所以sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝2sin (C＋45°)＝2sin
B，
又A，B，C是△ABC的内角，
故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)， 所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°， 所以C＝15°.
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理练习(含解析)新人教A版必修5
