湖北省孝感市2013年高考数学备考资料 研究专题7(选修)：教科书资源的开发与利用之选修

教科书资源的开发与利用之选修4-1

孝感市英才外国语学校 彭巧林

从近几年选考4-1的试卷来看，本节是重点，通常以圆为载体考查四点共圆、相交弦定理、切割线定理、与圆有关的比例线段以及相似三角形有关性质等，题型为填空题，难度为中低档题。

一．“四定理”——相交弦定理、割线定理，切割线定理、切线 长定理的应用

由于“四定理”与圆有关，且其结论是线段的关系，因而在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常结合三角形及其相似知识来证明线段相等或等比例线段问题。如本册课本第二讲第五节与圆有关的比例线段中的例5的问题1问题2问题3常在直线与圆的位置关系中借助相似三角形与“四定理”得到等比例线段及四点共圆。

变式1：如图1,过点P的直线与圆O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则圆O的半径等

于_______.

解: 设PO交圆O于C,D,如图,设圆的半径为R,由割线定理知

PA?PB?PC?PD,即1?(1?2)?(3-r)(3?r),?r?O B A 图1

6.

P 点评: 本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知PA?PB?PC?PD,从而求得圆的半径.

D

变式2：如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.

OBACP(1)求证：FB＝FC；

2

(2)求证：FB＝FA·FD；

(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长． 解 (1)∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.

∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.

∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC. (2)∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，

FBFA2

，∴FB＝FA·FD. FDFB (3)∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°.

∴△FBA∽△FDB.∴＝

1 / 5

1

∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝∠EAC＝60°，∠BAC＝60°.∴∠D＝30°.

2 ∵BC＝ 6， ∴AC＝23. ∴AD＝2AC＝43cm.

二．与圆有关的比例线段及相似三角形有关性质的应用

有关相似三角形的判定与性质一般不单独考查。高考中一般结合圆的有关知识应用相似三角形的判定与性质解决比例线段问题。在探求比例线段时，要注意其结构特征，找共性，辨差异，寻联系，定思路，再结合平面图形的有关性质逐步转化。如本册课本第二讲第五节与圆有关的比例线段中的例2

变式1：如图，?ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E

（I）证明：?ABE?ADC

1AD?AE，求?BAC的大小。 2 （II）若?ABC的面积S?解：

(I)由已知条件，可得?BAE＝?CAD 因为?AEB与?ACB是同弧上的圆周角，所以?AEB＝?ACD所以△ABE∽△ADC （II）因为△ABE∽△ADC

ABAD＝，即AB?AC＝AD?AE，AEAC11又S＝AB?ACsin?BAC,且S＝AD?AE，22所以AB?ACsin?BAC＝AD?AE，所以所以sin?BAC?1,又?BAC为三角形的内角，所以?BAC＝90o。

点评：本题考查了几何证明，相似三角形判定和性质，圆周角定理，考查了三角形的 面积公式等。

变式2. 如图：已知圆上的弧AC?BD，过C点的圆的切线与BA的

BC=BE?CD. 延长线交于 E点，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）?ACE=?BCD.

解：（Ⅰ）因为AC?BD,所以?BCD??ABC.

又因为EC与圆相切于点C，故?ACE??ABC 所以?ACE??BCD. （Ⅱ）因为?ECB??CDB,?EBC??BCD,

2

所以BDCECB,故

BCCD2. 即 BC?BE?CD. ?BEBC点评：本题主要考查了圆的切线、等弧所对的圆心角相等等知识.熟练利用等弧所对的圆心角相等，判断出三角形相似，然后证明问题。

变式3：在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N.

1

若AC＝AB， 求证：BN＝2AM

2

证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACB的平分线，所以1AB2AM 又已知AC＝AB， 所以＝. ①

2BCBMACAM＝. BCBM又因为BA与BC是圆O过同一点B的切割线，所以BM·BA＝BN·BC， BABN2AMBN即＝.② 故由①②可知，＝，所以BN＝2AM.

BCBMBMBM三．四点共圆的判断及应用

四点共圆的主要判断及应用方法有以下四种 ：

（1） 如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆。

（2） 如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

（3） 如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆. （4） 如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这

两个三角形的四个顶点共圆

如本册课本第二讲第二节圆内接四边形的性质与判定定理的例2中探索了四点共圆的判断，下面我们探索其应用：

变式1：如图，AB是半圆的直径，点C、D在弧AB上，且AD平分∠CAB，已知AB＝10，AC＝6，则AD等于( ）

A．8 B．10 C．210 D．45

解：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝∠D＝90°，

3

又∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，∴cos∠BAC＝，

5

1

又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，

28252

2cos∠BAD＝1＋cos∠BAC＝， ∴cos∠BAD＝，

55

25

又在Rt△ADB中，AD＝AB·cos∠BAD＝10×＝45.

5