A卷
1．抛物线y＝ax的准线方程是y＝1，则a的值为( ) 1A． 4C．4 【答案】B
1112
【解析】由题意知抛物线的标准方程为x＝y，所以准线方程y＝－＝1，解得a＝－.
a4a4
2．(2024年湖北荆州监利实验高中月考)已知点M(a，b)在圆O：x＋y＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 C．相离 【答案】B
【解析】∵M(a，b)在圆x＋y＝1外，
∴a＋b＞1.∴圆心O(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝2
2
2
2
2
2
2
1
B．－
4D．－4
B．相交 D．不确定
1
a2＋b2
＜1＝r，则直线与圆相交．
3．(2024年湖南长沙一模)椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为( )
A．＋＝1
22C．＋＝1 42【答案】C
【解析】易知b＝c＝2，故a＝b＋c＝4，从而椭圆E的标准方程为＋＝1.
42
2
2
2
x2y2
B．＋y＝1
2D．＋＝1
42
x2
2
x2y2y2x2
x2y2
x2y2
4．(2024年天津)已知抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条
ab2
渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A．2 C．2 【答案】D
2b2b2
【解析】抛物线y＝4x的焦点为F(1,0)，准线为l＝－1.由题意得|AB|＝，|OF|＝1，所以＝4，
B．3 D．5
aa即＝2，所以离心率e＝＝baca1＋??＝5.
a?b?2??
x2y2
5．(2017年上海)设双曲线－2＝1(b＞0)的焦点为F1，F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则
9b
|PF2|＝________.
【答案】11
x2y2
【解析】双曲线－2＝1中，a＝9＝3，由双曲线的定义，可得||PF1|－|PF2||＝6，又|PF1|＝5，解
9b得|PF2|＝11或－1(舍去)，故|PF2|＝11.
6．(2024年天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________． 【答案】x＋y－2x＝0
2
2
F＝0，??22
【解析】设该圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，则?2＋D＋E＋F＝0，
??4＋2D＋F＝0，
∴所求圆的方程为x＋y－2x＝0.
2
2
解得D＝－2，E＝F＝0.
7．(2024年浙江)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点
95在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
【答案】15
【解析】方法一：设线段PF的中点为M，椭圆的右焦点为F1，连接PF1，MF1.因为线段PF的中点M在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，所以MF1⊥PF，|PF1|＝|FF1|＝4.由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，|MF1|4－1
则|PF|＝2，|MF|＝1.所以tan∠MFF1＝＝＝15，即直线PF的斜率为15.
|MF|1
2
2
x2y2
?m－2，n?，
方法二：设P(m，n)，－3
所以|OM|＝|OF|＝2，则?直线PF的斜率为15.
8．如图，已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点
2
m2n2
15??m－2?2＋?n?2＝4(②)．联立①②，解得m＝－3，n＝15，即P?3
????－，?，所以
22?2??2??22?
A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
【解析】(1)抛物线y＝2px的准线方程为x＝－，
2∴4＋＝5，解得p＝2.
2∴抛物线的方程为y＝4x.
(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．
44
又F(1,0)，∴kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．
333
∵MN⊥FA，∴kMN＝－，
43
则MN的方程为y＝－x＋2.
43
y＝－x＋2，??4
解方程组?4
y＝??3?x－1?，
22
pp
8
x＝，??5得?4
y＝??5，
?84?∴N?，?.
?55?
B卷
9．(2024年山西吕梁模拟)如图所示，点F是抛物线y＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y＝8x和圆(x－2)＋y＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB周长的取值范围为( )
2
2
2
2
A．(6,10) C．[6,8] 【答案】B
【解析】抛物线的准线为x＝－2，焦点F(2,0)，由抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)＋y＝16的圆心为(2,0)，半径为4，所以△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.由抛物线y＝8x和圆(x－2)＋y＝16可得交点的横坐标为2，所以xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)，即△FAB周长的取值范围为(8,12)．
2
2
2
2
2
B．(8,12) D．[8,12]
x2y2x2y2
10．(2024年北京)已知椭圆M：2＋2＝1(a＞0，b＞0)，双曲线N：2－2＝1.若双曲线N的两条渐近
abmn线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________，双
曲线N的离心率为________．
【答案】3－1 2
c3c??c【解析】设椭圆的右焦点坐标为(c,0)，正六边形的一个顶点坐标为?，?，代入椭圆方程，得4a2?22?
3cc42
＋2＝1.又椭圆的离心率e＝，化简得e－8e＋4＝0，e∈(0,1)，解得e＝3－1.双曲线的渐近线的斜4ba2
2
n率为3，即＝3，所以n＝3m，则双曲线的离心率e1＝
mm2＋n2＝2. m2
?3?11．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2且|F1F2|＝2，点?1，??2?
在该椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
122
(2)过点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以点F2为圆心且与直线l7相切的圆的方程．
【解析】(1)由题意，知c＝1,2a＝故椭圆C的方程为＋＝1.
43
3??3??(2)①当直线l⊥x轴时，可取A?－1，－?，B?－1，?，△AF2B的面积为3，不符合题意． 2??2??②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程， 得(3＋4k)x＋8kx＋4k－12＝0.
显然Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 8k4k－12
则x1＋x2＝－2，x1x2＝2，
3＋4k3＋4k12?k＋1?
可得|AB|＝1＋k·?x1＋x2?－4x1x2＝2. 3＋4k2
2
2
2
2
2
2
2
2
?3?2＋?2????3?2＋22＝4，a＝2， ?2???
x2y2
又点F2到直线l的距离d＝
2|k|1＋k2
，
2
112|k|k＋112242
∴△AF2B的面积为|AB|·d＝＝，化简，得17k＋k－18＝0，解得k＝±1. 2
23＋4k7∴所求圆的半径r＝d＝2， 圆的方程为(x－1)＋y＝2.
2
2
2024届高考数学(理)二轮复习专题6解析几何第1讲圆锥曲线的简单几何性质练习(含答案)
