湖南省长沙市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
uuuruuur1.在VABC中,已知AB?AC?9,sinB?cosAsinC,SVABC?6,P为线段AB上的一点,且
uuuruuuruuurCACB11CP?x?uuur?y?uuur,则?的最小值为( )
xyCACBA.
73 ?123B.12
C.
4 3D.
53 ?124【答案】A 【解析】 【分析】
在VABC中,设AB?c,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC?0,BC?a,AC?b,可得C??2,再由已知条件求得a?4,b?3,c?5,考虑建立以AC所在的直线为x轴,以BC所在
的直线为y轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得4x?3y?12,然后利用基本不等
式可求得【详解】
11?的最小值. xy在VABC中,设AB?c,BC?a,AC?b,
QsinB?cosAsinC,即sin?A?C??cosAsinC,即sinAcosC?cosAsinC?cosAsinC,
?sinAcosC?0,
Q0?A??,?sinA?0,?cosC?0,Q0?C??,?C??2,
uuuruuurbcsinA4a1?tanA???, S?bcsinA?6,即,又,cbcosA?9QAB?AC?9VABC2bccosA3bQSVABC?a4?a?41???ab?6,则ab?12,所以,?b3,解得?,?c?a2?b2?5. 2?b?3?ab?12?以AC所在的直线为x轴,以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
则C?0,0?、A?3,0?、B?0,4?,
uuuruuurP为线段AB上的一点,则存在实数?使得AP??AB????3,4????3?,4???0???1?,
uuuruuuruuur?CP?CA?CB??3?3?,4??,
uuuruuururCAurCBuruururure?e?uuuruuure?e?1设1,1,则1,?e1??1,0?,e2??0,1?, 2CACBuuuruuuruuururuurCACB?x?3?3?xyQCP?x?uuur?y?uuur?xe1?ye2??x,y?,??,消去?得4x?3y?12,???1,
CACB34?y?4?所以,
11?11??xy?xy7xy737????????????2????, xy?xy??34?3y4x123y4x123123y时,等号成立, 2当且仅当x?因此,
11?的最小值为3?7. xy312故选:A. 【点睛】
本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解
uuurCAuuuruuuryx最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示CP,建立x、y与参数的关系,CA解决本题的第二个关键点在于由x?3?3?,y?4?发现4x?3y?12为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.
2.在区间??1,1?上随机取一个实数k,使直线y?k?x?3?与圆x?y?1相交的概率为( )
22A.
1 2B.
1 4C.2 2D.2 4【答案】D
【解析】 【分析】
利用直线y?k?x?3?与圆x?y?1相交求出实数k的取值范围,然后利用几何概型的概率公式可求得
22所求事件的概率. 【详解】
由于直线y?k?x?3?与圆x?y?1相交,则22?1,解得?2?k?2.
44k2?13k因此,所求概率为
2?P?24?2. 24故选:D. 【点睛】
本题考查几何概型概率的计算,同时也考查了利用直线与圆相交求参数,考查计算能力,属于基础题. 3.已知复数z满足i?z?3?2i(i是虚数单位),则z=( ) A.2?3i 【答案】A 【解析】 【分析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】
解:由i?z?3?2i,得z?3?2i?3?2i???i???2?3i,
i?i2B.2?3i C.? 2?3i D.? 2?3i
?z?2?3i.
故选A. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 4.数列?an?的通项公式为an?n?cn?NA.必要而不充分 【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知an?1?an?0,解得c?n?推出关系可确定结果.
B.充要
???.则“c?2”是“?a?为递增数列”的( )条件.
nC.充分而不必要 D.即不充分也不必要
31,由此得到若?an?是递增数列,则c?,根据
22【详解】
若“?an?是递增数列”,则an?1?an?n?1?c?n?c?0, 即?n?1?c???n?c?,化简得:c?n?又n?N?,?n?则c?2?221, 2133?,?c?, 222?an?是递增数列,?an?是递增数列?c?2,
?“c?2”是“?an?为递增数列”的必要不充分条件.
故选:A. 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断,涉及到根据数列的单调性求解参数范围,属于基础题.
5.某网店2019年全年的月收支数据如图所示,则针对2019年这一年的收支情况,下列说法中错误的是( )
A.月收入的极差为60 B.7月份的利润最大
C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.这一年的总利润超过400万元 【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】
由图可知月收入的极差为90?30?60,故选项A正确;
1至12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利润最高,故选项B正确;
易求得总利润为380万元,众数为30,中位数为30,故选项C正确,选项D错误. 故选:D. 【点睛】
本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力和应用能力.
6.在边长为1的等边三角形ABC中,点E是AC中点,点F是BE中点,则AF?AB?( )
uuuruuurA.
5 4B.
3 4C.
5 83D.
8【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量基本定理,用AB,AC来表示AF,然后利用数量积公式,简单计算,可得结果. 【详解】
由题可知:点E是AC中点,点F是BE中点
uuuruuuruuuruuur1uuuruuuruuur1uuurAF?AB?AE,AE?AC
22uuur1uuur1uuur所以AF?AB?AC
24uuuruuuruuuruuur11又AB?AC?ABACcos?A?1?1??
22??uuuruuur?1uuur1uuur?uuur所以AF?AB??AB?AC??AB
4?2?uuuruuur1uuur21uuuruuur5则AF?AB?AB?AC?AB?
248故选:C 【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及数量积公式,掌握公式,细心观察,属基础题. 7.函数y?1?ln?x?1?的图象大致为( ) xA. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
确定函数在定义域内的单调性,计算x?1时的函数值可排除三个选项. 【详解】
x?0时,函数为减函数,排除B,?1?x?0时,函数也是减函数,排除D,又x?1时,y?1?ln2?0,
湖南省长沙市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题含解析
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