湖南省长沙市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
uuuruuur1．在VABC中，已知AB?AC?9，sinB?cosAsinC，SVABC?6，P为线段AB上的一点，且
uuuruuuruuurCACB11CP?x?uuur?y?uuur，则?的最小值为（ ）
xyCACBA．
73 ?123B．12
C．
4 3D．
53 ?124【答案】A 【解析】 【分析】
在VABC中，设AB?c，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC?0，BC?a，AC?b，可得C??2，再由已知条件求得a?4，b?3，c?5，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在
的直线为y轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4x?3y?12，然后利用基本不等
式可求得【详解】
11?的最小值. xy在VABC中，设AB?c，BC?a，AC?b，
QsinB?cosAsinC，即sin?A?C??cosAsinC，即sinAcosC?cosAsinC?cosAsinC，
?sinAcosC?0，
Q0?A??，?sinA?0，?cosC?0，Q0?C??，?C??2，
uuuruuurbcsinA4a1?tanA???， S?bcsinA?6，即，又，cbcosA?9QAB?AC?9VABC2bccosA3bQSVABC?a4?a?41???ab?6，则ab?12，所以，?b3，解得?，?c?a2?b2?5. 2?b?3?ab?12?以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则C?0,0?、A?3,0?、B?0,4?，
uuuruuurP为线段AB上的一点，则存在实数?使得AP??AB????3,4????3?,4???0???1?，
uuuruuuruuur?CP?CA?CB??3?3?,4??，
uuuruuururCAurCBuruururure?e?uuuruuure?e?1设1，1，则1，?e1??1,0?，e2??0,1?， 2CACBuuuruuuruuururuurCACB?x?3?3?xyQCP?x?uuur?y?uuur?xe1?ye2??x,y?，??，消去?得4x?3y?12，???1，
CACB34?y?4?所以，
11?11??xy?xy7xy737????????????2????， xy?xy??34?3y4x123y4x123123y时，等号成立， 2当且仅当x?因此，
11?的最小值为3?7. xy312故选：A. 【点睛】
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解
uuurCAuuuruuuryx最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示CP，建立x、y与参数的关系，CA解决本题的第二个关键点在于由x?3?3?，y?4?发现4x?3y?12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.
2．在区间??1,1?上随机取一个实数k，使直线y?k?x?3?与圆x?y?1相交的概率为（ ）
22A．
1 2B．
1 4C．2 2D．2 4【答案】D
【解析】 【分析】
利用直线y?k?x?3?与圆x?y?1相交求出实数k的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得
22所求事件的概率. 【详解】
由于直线y?k?x?3?与圆x?y?1相交，则22?1，解得?2?k?2.
44k2?13k因此，所求概率为
2?P?24?2. 24故选：D. 【点睛】
本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题. 3．已知复数z满足i?z?3?2i（i是虚数单位），则z=（ ） A．2?3i 【答案】A 【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
解：由i?z?3?2i，得z?3?2i?3?2i???i???2?3i，
i?i2B．2?3i C．? 2?3i D．? 2?3i
?z?2?3i．
故选A． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 4．数列?an?的通项公式为an?n?cn?NA．必要而不充分 【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知an?1?an?0，解得c?n?推出关系可确定结果.
B．充要
???．则“c?2”是“?a?为递增数列”的（ ）条件．
nC．充分而不必要 D．即不充分也不必要
31，由此得到若?an?是递增数列，则c?，根据
22【详解】
若“?an?是递增数列”，则an?1?an?n?1?c?n?c?0， 即?n?1?c???n?c?，化简得：c?n?又n?N?，?n?则c?2?221， 2133?，?c?， 222?an?是递增数列，?an?是递增数列?c?2，
?“c?2”是“?an?为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A. 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
5．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）
A．月收入的极差为60 B．7月份的利润最大
C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．这一年的总利润超过400万元 【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】
由图可知月收入的极差为90?30?60，故选项A正确；
1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；
易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误. 故选：D. 【点睛】
本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.
6．在边长为1的等边三角形ABC中，点E是AC中点，点F是BE中点，则AF?AB?（ ）
uuuruuurA．
5 4B．
3 4C．
5 83D．
8【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量基本定理，用AB,AC来表示AF，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果. 【详解】
由题可知：点E是AC中点，点F是BE中点
uuuruuuruuuruuur1uuuruuuruuur1uuurAF?AB?AE，AE?AC
22uuur1uuur1uuur所以AF?AB?AC
24uuuruuuruuuruuur11又AB?AC?ABACcos?A?1?1??
22??uuuruuur?1uuur1uuur?uuur所以AF?AB??AB?AC??AB
4?2?uuuruuur1uuur21uuuruuur5则AF?AB?AB?AC?AB?
248故选：C 【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题. 7．函数y?1?ln?x?1?的图象大致为( ) xA． B．
C． D．
【答案】A 【解析】 【分析】
确定函数在定义域内的单调性，计算x?1时的函数值可排除三个选项． 【详解】
x?0时，函数为减函数，排除B，?1?x?0时，函数也是减函数，排除D，又x?1时，y?1?ln2?0，
湖南省长沙市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题含解析
