专题六 重温高考压轴题----函数零点问题集锦
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力.
【典型例题】
类型一 已知零点个数，求参数的值或取值范围 例1.【2018年理新课标I卷】已知函数点，则a的取值范围是
A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 画出函数
的图像，
在y轴右侧的去掉，再画出直线
，之后上下移动，可以发现当直线过
．若g（x）存在2个零
点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程
有两个解，也就是函数
有两个零点，此时满足
，即
，故选C.
例2.【2018年理数全国卷II】已知函数（1）若（2）若
，证明：当在
时，
；
．
只有一个零点，求．
【答案】（1）见解析（2）
1
【解析】 （1）当时，
等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而
，故当
时，
，即
．
（2）设函数
．
在只有一个零点当且仅当在
只有一个零点．
（i）当时，，
没有零点；
（ii）当时，． 当时，；当
时，．
所以在
单调递减，在单调递增． 故
是
在
的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以
．故
在
有一个零点，因此
在
有两个零点． 综上，在
只有一个零点时，
．
类型二 利用导数确定函数零点的个数 例3.【2018年全国卷II文】已知函数．
（1）若，求
的单调区间；
（2）证明：
只有一个零点．
2
【答案】（1）f（x）在（–∞，（2）f（x）只有一个零点． 【解析】
（1）当a=3时，（fx）=
），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．
，f （′x）=．令f （′x）=0解得x=或x=．当
x∈（–∞，f（x）在（–∞，
）∪（
），（
，+∞）时，f ′（x）>0；当x∈（，+∞）单调递增，在（
，
，）时，f ′（x）<0．故）单调递减．
（2）由于，所以等价于．
设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调
递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点． 又f（3a–1）=
综上，f（x）只有一个零点．
类型三 挖掘“隐零点”，证明不等式
例4.【2017课标II，理】已知函数f?x??ax?ax?xlnx，且f?x??0.
2，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．
(1)求a；
(2)证明：f?x?存在唯一的极大值点x0，且e【答案】(1)a?1；(2)证明略. 【解析】
?2?f?x0??2?2.
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专题06 重温高考压轴题----函数零点问题集锦-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
