高中数学北师大版必修二：2.1.1椭圆的定义和标准方程

椭圆的定义和标准方程的教学设计

一、教学内容分析

本课选自《普通高中课程标准实验教科书（选修2-1）数学》（北师大版），第三章第一节。本节教材的主要内容是使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用，使学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；掌握椭圆的定义，标准方程的推导过程及步骤，标准方程中a、b、c的代数意义，标准方程及其轨迹。本节对椭圆的定义及其轨迹的研究，使学生在学习了圆及其方程后，又一次探究了定义的本质，通过探究使学生从感性认识上升到了理性认识，形成了对椭圆定义的深刻理解，培养了学生研究轨迹的能力，从而进一步让学生体验“用方程研究曲线”这一基本思想，体现了数学的美，也符合认知的渐进原则。

二、学生学习情况分析

我校是普通高级中学，有很好的多媒体设备，但是学生数学基础比较薄弱，所以在这节课之前，我带领了学生进行了对圆及其轨迹方程的复习，尤其是推导过程，使学生有很想研究其他曲线的欲望。 三、设计思想

为了让学生“学会”知识，而且“会学”知识，并体现新课程的理念，首先为了激发学生的学习积极性，我做了很好的情景创设；其次围绕教材的重难点（椭圆概念的形成、标准方程及其推导），设置活动环节，设置由浅入深环环相扣的问题，在教学中我适时的引导和学生间、师生间的互动，让学生经历了分析、发现、探究及反思的过程，使学生真正成为学习的主人并提高获取知识的能力，尝试合作的乐趣，体验成功的喜悦。 四、教学目标

1.使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和实际问题的作用。

2.掌握椭圆的定义，标准方程的推导及步骤，标准方程中a、b、c的代数和几何意义，标准方程及其轨迹。

3.掌握直接法求曲线方程，培养学生数形结合的数学思想，提高分析问题的能力。 4.营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学，引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简洁美、和谐美，培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦，发现数学的应用意识，体会数学的应用价值。 五、教学的重点和难点

教学重点：椭圆的定义和标准方程的推导，学生的自主建立坐标系以及方程中a、b、c的理解．

教学难点：椭圆概念的形成，．

六、教 具：多媒体、实物投影仪 ． 七、教学过程： （一）情境引入

（借助多媒体）以图片展示开始引入，让学生有一个对椭圆的感官认识，并知道在现实生活中随处可以见到椭圆。

情境预设：学生对图片感兴趣，通过老师的引导，激发学生对椭圆的探究的热情。 （二）探求新知.

1.抛出问题：“如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？”，让学生探讨后，给出椭圆的画法。 情境预设：学生画椭圆的方法可能都比较含混，不够精确，比如把圆压扁的思想方法描绘等。

2.老师用一根绳子，把它的两端固定在画板的F1和F2处，要求绳长大于两点的距离，

用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。

PF1F2 设计意图：知道椭圆的画法，并从画法中感受绳长和两定点间距离的关系,知道绳长大于两定点间的距离.这么做主要是为了让学生更深的理解椭圆的定义中，“动点M到两定点F1 F2的距离和是一定值”，为学生得出椭圆的定义打下了基础。 3.椭圆的定义

画出椭圆后，让学生试着描述椭圆的定义，最后让学生读课本，得出椭圆的规范定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于FF12）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 设计意图：一方面是培养学生的分析归纳能力，一方面是出于对学生的数学基础较弱的考虑。 老师对定义进行分析并强调三点:①“在平面内”;

②动点到两定点间的距离和是一个定值（设为2a）; ③两定点间的距离（设为2c）小于2a.

4.椭圆的方程

①复习用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤:

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示

曲线上任意一点的坐标； （2）写出适合条件 P（M） ; （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ; （4）化方程为最简形式; （5）证明已化简后的方程为所求方程(可以省略不写,

如有特殊情况，可以适当予以说明)

引入求椭圆的方程的推导。

设置问题：怎么叫“建立适当的坐标系”呢？

②研究建立坐标系的问题，从而得出建立坐标系的一般原则：

情境预设：将坐标系建在椭圆上不同的位置，让学生观察，并写出端点坐标，在这个过程中，学生会发现和想起建系的规律。

⑴尽可能使方程的形式简单、运算简单；

⑵利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.

③得出坐标系后，设出动点M(x,y)和两定点F根据定义“动1(?c,0),F2(c,0)的坐标，点到两定点的距离的和等于定值（即MF，列出方程并化简，从而得出椭圆1?MF2?2a）的方程：

x2y2?2?1 2ab

(强调b?a?c,焦点坐标为F1(?c,0),F2(c,0),焦点在x轴，中心在坐标原点) 如图示：

222y M F1 0 F2 x

提出问题：根据建系原则，是否还有其他的坐标系呢？

情境预设：学生根据建系原则，仔细思考，会发现将焦点放在y轴上。 ④再调换坐标轴得出焦点在y轴上的椭圆方程。

⑤根据图形及方程分析方程中的a、b、c的几何和代数意义，让学生更深入的体会椭圆方程中的a、b、c，从而理解椭圆方程。

下来例题中设计相关对椭圆方程的认识的例子，比如对a>0,b>0,c>0的考察，焦点位置的判断，a>b的应用问题等。

例1.判断下列哪些是椭圆方程？若是，则判断焦点在那个坐标轴？并指出a2、b2和焦点坐标

x2y2x2y2?1???1 ?2???1 1616259x2y2?3??3x?2y??1 ?4?2?2?1

mm?122x2y2??1 ?5?24?k16?k 例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴a?6 b?1，焦点在x轴上；

a?5； ⑵焦点为F1?0,?3?,F2?0,3?,且

⑶两个焦点分别为F1??2,0?,F2?2,0?,且过点P?2,3?; ⑷经过点P??2,0?和Q?0,?3?.

x2y2??1表示焦点在x轴上得椭圆，求m的取值范围。 例3已知方程

4m八、小结概括

提出问题：本节课你都学习了哪些内容？ 预设情境：

学生回答： 如何画椭圆、椭圆的定义、椭圆的标准方程 老师进行总结： 定义 平面内与两定点F1、F2距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹。 标准方程 图形 x2y2??1?a?b?0? a2b2y y2x2??1?a?b?0? a2b2 y M A F1 oF2 x M B O xxF1 方案二 焦点坐标 A x F1??c,0?，F2?c,0? a2?b2?c2 F1?0,?c?，F2?0,c? a,b,c之间的关系 a,b,c的几何意义 如上图中的： a?AO,b?OB,c?OF1

提出问题：除了知识方面的以外，还有哪些思想方法是我们必须掌握的？ 预设情境：学生回答：数形结合法；观察归纳法。 老师补充：类比的方法。

最后老师总结：今天学习的内容不是很多，但是我们从知识、能力、思想与应用等方面都理解和体验了数学的奥秘，如果我们做生活的有心人，就会发现数学与生活是密切联系的。

九、作业布置

课本68页习题3—1，第1、4题；

十、板书设计

椭圆及其标准方程 1. 2. 3. 4. 椭圆的定义 椭圆的标准方程 椭圆方程的应用 小结 椭圆标准方程的推导 例题 十一、教学反思

在教学设计中，应注意充分调动学生的已有知识，引导学生把新旧知识进行整合，掌握知识的系统结构。为了突破本节的难点——椭圆概念的形成，在教学设计中我设计了一个活动，让学生亲手感受画出椭圆的过程，并培养学习的信心。为了突出重点我设计了另一个活动是计算机辅助在建系的教学，让学生能够更深刻的体会到建立合适的坐标系的必要性，通过变换坐标系，使学生逐步理解和掌握求曲线方程的步骤，强化学生求曲线方程的基本功。总之，在以“学生为核心”的理念引导下，我要在每个阶段的教学中都精心设计问题情境，为学生自主探究和发现创设条件，为学生的实践能力和创新能力，构造一个探索性的学习空间。

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