离散数学第一章知识
点总结
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离散数学第一章知识点总结（仅供参考）
1.判断给定的句子是否为命题的基本步骤：首先应是陈述句；其次要有唯一的真值。
例：（1）我正在说谎。
不是命题。因为无法判定其真假值，若假设它为假即我正在说谎，则意味着它的反为真，即我正在说实话，二者相矛盾；若假定它为真即我正在说实话，则意味着它的反为假，我正在说谎，二者也相矛盾。这其实是一个语义上的悖论。悖论不是命题 （2）x-y ＞2。
不是命题。因为x, y的值不确定，某些x, y使x?y＞2为真，某些x, y使x?y＞2为假，即x?y＞2的真假随x, y的值的变化而变化。因此x?y＞2的真假无法确定，所以x?y＞2不是命题。
2.命题可以分为两种类型：原子命题（不能再分解为更简单命题，又可称为简单命题）；
复合命题(通过联结词、标点符号将原子命题联结而成的命题） 3.命题常元：一个命题标识符如果表示确定的简单命题，就称为命题常元 命题变元：如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志，就称它为命题变元
注：当命题变元P用一个特定的简单命题取代时，P才能确定真值，这时也称对P进行指派
4.联接词：（1）否定联接词：﹁假为真，真为假；还可以用“非”、“不”、“没 有”、“无”、
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“并不”等多种方式表示否定
（2）合取联接词：∧一个为假就为假还可用“并且”、“同时”、“以及”、“既……
又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”等多种方 式表达合取
（3）析取联接词：∨一个为真就为真；一般用或表示
注：联结词∨是可兼或，因为当命题P和Q的真值都为真时， 其值也为真。但自然语言中的“或”既可以是“排斥或 ” 也可以是“可兼或 ”。
例1.6 晚上我们去教室学习或去电影院看电影。（排斥或）
例1.7 他可能数学考了100分或英语考了100分。（可兼或） 例1.8 刘静今天跑了200米或300米远。（既不表示“可兼或”
也不表示“排斥或”，它只是表示刘静所跑的大概路程， 因此它不是命题联结词，故例1.8是原子命题。） （4）蕴涵联结词： 所
以……、仅当、只有……才……、除非……才……、除非……、 否则非 ……表示 (5)等价联接词：
同真同假才为真；还可以用当且仅当、充分必要表示 前真后假才为假；还可以用当……则……、因为……5.命题公式：1）单个命题变元是合式公式，并简称为原子命题公式； 2）如果A是合式公式，那么(﹁A)也是合式公式；
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3）如果A, B都是合式公式，那么(A∧B ), (A∨B ), (A合式
公式；
B ), (A B )都是
4）当且仅当有限次地应用1), 2), 3)所得到的包含命题变元、联结词和括号的字
符串是合式公式。
根据定义1.6可知，P, (﹁P ), (P R )
都是命题公式。而 (∨P ), (P
Q, (P ∨Q )
R )都不是命题公式。
(P∨Q )), ((﹁P∧Q )∧P ), ((P Q ) 6.n元命题公式：一个命题公式中总共包含有n个不同的命题变元 7. 1）若公式A是单个的命题变元，则称A为0层公式。 2）称A是n+1（n≥0）层公式是指下面情况之一： （1）A=﹁B, B是n层公式；
（2）A=B∧C,其中B, C分别为i层和j层公式，且n=max(i,j); （3）A=B∨C,其中B, C的层次同（2）; （4）A=B （5）A=B
C,其中B, C的层次同（2）; C,其中B, C的层次同（2）;
3）若公式A的层次为k,则称A是k层公式。 例1.19 （﹁P∧Q） (﹁(P
R为3层公式。
﹁Q））∧((R∨S) ﹁P) 为4层公式。
8.真值表p17可分为重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式 9.逻辑等价：若对出现在A与B中的所有命题变元的任一组赋值，公式A和B的真值都相
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同，则称公式A与B是逻辑等价或称逻辑相等，记作A逻辑等价公式（熟记）：1）双重否定 A 2）幂等律A
A∨A 、A
﹁﹁A A∧A
B∧A
B.
3）交换律A∨BB∨A、 A∧B
4）结合律 (A∨B)∨C 5）分配律 A∨(B∧C) A∧(B∨C)
A∨(B∨C) 、(A∧B)∧CA∧(B∧C)
(A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）
(A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
﹁A∧﹁B
6）德摩根律﹁(A∨B) ﹁(A∧B)
﹁A∨﹁B
A
7）吸收律 A∨(A∧B) A∧(A∨B) 8）零律 A∨1
A
0
A
1 、A∧0
9）同一律 A ∧ 1 10）排中律A∨﹁A
A 、A ∨ 0
1 0
11）矛盾律 A ∧ ﹁A 12）蕴涵律 A→B 13）等价律A B
﹁A∨B (A→B)∧(B→A)
﹁B→﹁A ﹁A
﹁B ﹁A
14）假言易位律A→B 15）等价否定律A
B
16）归谬律 (A→B)∧(A→﹁B)
10.逻辑蕴含：设A、B是任意公式，若A→B是重言式，则称A逻辑蕴涵B，记为A
B
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