大题肢解一
新高考数学（理） 专题02 数列 分组法求数列的前n项和
{an}
【宁夏银川一中2019届高三第二次模拟】已知数列
a2，是公差不为0的等差数列，首项a1?1，且a1，
a4成等比数列．
（1）求数列（2）设数列
{an}{bn}
的通项公式； 满足
bn?an?2an，求数列
{bn}的前n项和
Tn.
【肢解1】在已知条件下求出数列
{an}的通项公式；
【肢解2】在“肢解1”的基础上，数列
{bn}满足
bn?an?2an，求数列
{bn}的前n项和
Tn.
【肢解1】在已知条件下求出数列【解析】设数列
{an}的通项公式；
{an}2a?a1a4， d2的公差为，由已知得，
2(1?d)?1?3d，解得d?0或d?1. 即
a?n又d?0，所以d?1，可得n.
【肢解2】在“肢解1”的基础上，数列【解析】由“肢解1”得所以
{bn}满足
bn?an?2an，求数列
{bn}的前n项和
Tn.
bn?n?2n，
Tn?(1?21)?(2?22)?(3?23)?????(n?2n)?(1?2?3?????n)?(2?22?23?????2n)
n2?n??2n?1?2n.
1
1.分组求和法：
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．
2.分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；
??bn，n为奇数，
(2)通项公式为an＝?的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组
?c，n为偶数?n
求和法求和．
【拓展1】已知数列
{an}是公差不为0的等差数列，首项a1?1，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求a2020； （2）设数列
{bn}满足
bn?4n?an?1，求数列
{bn}的前n项和
Tn.
【解析】（1）设数列
{an}2a?a1a4， d2的公差为，由已知得，
2(1?d)?1?3d，解得d?0或d?1. 即
a?n又d?0，所以d?1，可得n.
所以a2020?2020. （2）由（1）得所以
bn?4n?2(n?1)，
Tn?(2?2?41)?(2?3?42)?(2?4?43)?????[2(n?1)?4n]?2(1?2?3?????n?1)?(4?42?43?????4n)
4(1?4n)?n?2n?1?4
24n?14?n?2n??33.
2【拓展2】已知数列
{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，首项a1?1，且a1，a2，a4成等比
2
数列．
（1）求S100；
（2）若2am?1是a16与S10的等差中项，求m的值. 【解析】（1）设数列
{an}2a?a1a4， d2的公差为，由已知得，
2(1?d)?1?3d，解得d?0或d?1. 即
a?n又d?0，所以d?1，可得n.
所以Sn?(1?100)100?5050.
2an?n，所以
（2）由（1）得
2am?1?2(m?1)， a16?16，S10?55，
因为2am?1是a16与S10的等差中项， 所以4(m?1)?16?55，解得m?219.
变式训练一
1.（2019年山东高考模拟）已知?an?是递增的等比数列，a5?48，4a2,3a3,2a4成等差数列.
（1）求数列?an?的通项公式；
（2）设数列?bn?满足b1?a2，bn?1?bn?an，求数列?bn?的前n项和Sn. 【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q(q?0)， 因为4a2，3a3，2a4成等差数列，
23所以6a3?4a2?2a4，即6a1q?4a1q?2a1q，
2所以q?3q?2?0，解得q=2或q?1（舍去）， 4n?1又a5?a1q?16a1?48，所以a1?3.所以an?3?2.
（2）由条件及（1）可得b1?a2?3?2?6．
因为bn?1?bn?an，所以bn?1?bn?an，所以bn?bn?1?an?1(n?2)，
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新高考数学(理)大题分解专题02 数列
