金山中学2016学年第二学期高二数学期末考试2017年6月
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．?x?1?5的展开式中x2项的系数为 ．
2．已知直线l经过点??5,0?且方向向量为?2,?1?，则原点O到直线l的距离为 . 3．已知全集U?R，集合A??xx2?2x?3?0,x?R?,B??xm?2?x?m?2,x?R?, 若
?CUA?IB??x0?x?3,x?R?，则实数m的值为 .
?x?y?4．若变量x,y满足约束条件?12,?2x?y?0, 则z?y?x的最小值为_________.
??x?2y?0,5．直线???x??2?2tt为参数)上与点A(?2,3)的距离等于2的点的坐标是 .
??y?3?2t(6．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯
的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 .
7．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），
频率/组距并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需
0.025时间的范围是?0,100?，样本数据分组为?0,20?，?20,40?，
?40,60?，?60,80?，?80,100?．则该校学生上学所需时间的
x0.0065均值估计为 ．（精确到1分钟）.
0.003O20406080100时间8．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红
球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 . 9． 如图，三棱锥P?ABC满足：AB?AC，AB?AP，AB?2，AP?AC?4，则该三棱锥的体积V的取值范围是 ．
10．P是双曲线
x2y29?16?1的右支上一点，M,N分别是圆（第9题图）
(x?5)2?y2?4和(x?5)2?y2?1上的点，则PM?PN的最大值等于 .
11．棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1及其内部一动点P，集合Q??PPA?1?,则集合Q构成的几何体表面积为 .
12．在直角坐标平面xoy中，已知两定点F1(?1,0)与F2(1,0)位于动直线l:ax?by?c?0的同
侧，设集合P??l∣点F1与点F2到直线l的距离之差等于1?， Q??(x,y)x2?y2?1,x、y?R?，记S??(x,y)(x,y)?l,l?P?,
T??(x,y)(x,y)?QIS?.则由T中的所有点所组成的图形的面积是 .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知?为实数，若复数z?sin2??1?i?2cos??1?是纯虚数，则z的虚部为（ ）
A．2 B．0 C．?2 D．?2i
14．已知条件?：“直线l在两条坐标轴上的截距相等”，条件?：“直线l的斜率等于?1”，则?是?的 （ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A在x轴上，AB平行于y轴，侧棱AA1平行于z轴．当顶点C在y轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱z 柱三视图的表述正确的是 （ ）
AC1 A．该三棱柱主视图的投影不发生变化； 1 B．该三棱柱左视图的投影不发生变化； B1 C．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；
C D．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．
x A y x2y2y2x2 B 16．如图，两个椭圆
25?9?1，25?9?1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断： ①P到F1??4,0?、F2?4,0?、E1?0,?4?、E2?0,4?四点的距离之
和为定值；
②曲线C关于直线y?x、y??x均对称； ③曲线C所围区域面积必小于36． 上述判断中正确命题的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分14分)已知复数z1满足?1?i?z1?1?3i，z2?a?i?a?R?（其中i是虚数单位），
若z1?z2?2z1，求a的取值范围．
18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分． 如图，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1底面ABCD直角梯形，
D1C1AB//CD，?BAD?90?，P是棱CD上一点，AB?2，
A1AD?2，AA1?3，CP?3，PD?1B1.
（1）求异面直线AD1P与BC1所成的角； PC（2）求证：PB?平面BCC1B1.
AB19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且直线AB与直线CD的夹角为
?2，已知OA?1，PA?2． （1）求该圆锥的体积；
（2）求证：直线AC平行于平面PBD，并求直线AC到平面PBD的距离． 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 阅读：
已知a,b??0,???，a?b?1，求y?12a?b的最小值. 解法如下：y?1a?2b???1?a?2?b???a?b??ba?2ab?3?3?22， 当且仅当ba?2ab，即a?2?1,b?2?2时取到等号， 则y?1a?2b的最小值为3?22. 应用上述解法，求解下列问题： （1）已知a,b,c??0,???，a?b?c?1，求y?111a?b?c的最小值；
（2）已知x???1??0,2??，求函数y?1x?81?2x的最小值； （3）已知正数a1,a2,a3,L,an，a1?a2?a3?L?an?1，
2求证：S?a21aa?a2?a223an1a?L??.
1?2a2?a3a3?4an?a1221．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若
a1ba?1b，22则我们称椭圆E与椭圆Ex212是相似椭圆．已知椭圆E:2?y2?1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F:x2s?y22?1是“相似椭圆”，求常数s的值； （2）设椭圆G:x22?y2???0???1?，过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当?为何值时k1?k2取得最小值，并求其最小值；
（3）已知椭圆E与椭圆H:x22?y2t?1?t?2?是相似椭圆．椭圆H上异于A,B的任意一点C?x0,y0?，求证：?ABC的垂心M在椭圆E上．
金山中学2016学年第二学期高二数学期末考试参考答案2017年6月
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．?x?1?5的展开式中x2项的系数为 10 ．
2．已知直线l经过点??5,0?且方向向量为?2,?1?，则原点O到直线l的距离为 1 . 3．已知全集U?R，集合A??xx2?2x?3?0,x?R?,B??xm?2?x?m?2?,
若?CUA??B??x0?x?3?，则实数m的值为 2 . ?x?y?12,4．若变量x,y满足约束条件??2x?y?0, 则z?y?x的最小值为____?4_____.
??x?2y?0,5．直线???x??2?2t(t为参数)上与点A(?2,3)的距离等于2的点的坐标是 ??3,4t?或??1,2?. ??y?3?26．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯
的概率都是
13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 29 . 7．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），
并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需频率/组距时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，
0.025[40,60)，[60,80)，[80,100]．则该校学生上学所需时间的均
x值估计为___34__．（精确到1分钟）.
0.00650.0038．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红O20406080100时间球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 186 .
9．如图，三棱锥P?ABC满足：AB?AC，AB?AP，AB?2，
AP?AC?4，则该三棱锥的体积V的取值范围是 ??0,4???3? ．
x2y210．P是双曲线
9－16＝1的右支上一点，M,N分别是圆(x?5)2?y2?4和(x?5)2?y2?1上的点，则PM?PN的最大值等于 9 .
11．棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1及其内部一动点P，集合Q??PPA?1?,则集合Q构成的几何体表面积为
5?4 . 12．在直角坐标平面xoy中，已知两定点F1(?1,0)与F2(1,0)位于动直线l:ax?by?c?0的同
侧，设集合P??l∣点F1与点F2到直线l的距离之差等于1?， Q??(x,y)x2?y2?1,x、y?R?，记S??(x,y)(x,y)?l,l?P?,
T??(x,y)(x,y)?QIS?.则由T中的所有点所组成的图形的面积是__
?3?32__.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知?为实数，若复数z?sin2??1?i?2cos??1?是纯虚数，则z的虚部为（ C ）
A．2 B．0 C．?2 D．?2i
14．已知条件?：“直线l在两条坐标轴上的截距相等”，条件?：“直线l的斜率等于?1”，则?是?的 （ B ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A在x轴上，AB平行于y轴，侧棱AA1平行于z轴. 当顶点C在y轴正半轴上运动时，以下关于此
z 直三棱柱三视图的表述正确的是 （ B ）
A．该三棱柱主视图的投影不发生变化； AC1 1 B．该三棱柱左视图的投影不发生变化； B1 C．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；
C D．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．
x A y
B 16．如图，两个椭圆
x2y2y2259?1，25?x2?9?1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：
①P到F1??4,0?、F2?4,0?、E1?0,?4?、E2?0,4?四点的距离之和
为定值；
②曲线C关于直线y?x、y??x均对称； ③曲线C所围区域面积必小于36． 上述判断中正确命题的个数为（ C ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．(本题满分14分)已知复数z1满足?1?i?z1?1?3i，z2?a?i?a?R?（其中i是虚数单位），若z1?z2?2z1，求a的取值范围．
解：z1??1?2i，z2?a?i， ??1?a?2?1?2?5即?a?1?2?9， 解得a??4或a?2
18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．
如图，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1底面ABCD直角梯形，AB∥CD，?BAD?90?，P是棱
CD上一点，AB?2，AD?2，AA1?3，CP?3，PD?1. D1C1（1）求异面直线A1P与BC1所成的角； A1B1（2）求证：PB?平面BCC1B1.. DPC
A解：（1）以D原点，DA,DC,DD,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B1分别为x轴A1?2,0,3?，
P?0,1,0?，B?2,2,0?，C?0,4,3?. 于是uPAuur11??2,?1,3?,uBCuuur?z1?2,2,3, uuurD??1C1cos??uPAA1PAuur?uBCuuur1uuu1ur?55B11?BC112?15?6 D?异面直线A所成的角的大小等于arccos5O1P与BC1PCy6. （2）PB?????AB2,1,0，BC??2,2,0，BB1??0,0,3? x ?PB?BC?0，PB?BB1?0 ?PB?BC，PB?BB1，?PB?平面BCC1B1.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且直线AB与直线CD的夹角为
?2，已知OA?1，PA?2． （1）求该圆锥的体积；
（2）求证：直线AC平行于平面PBD，并求直线AC到平面PBD的距离． 解：（1）设圆锥的高为h，底面半径为r，则r?1，h?3，
∴圆锥的体积V?13Sh?33?； （2）证明：由对称性得AC//BD， ∵AC不在平面PBD，BD?平面PBD， ∴AC//平面PBD，
∴C到平面PBD的距离即直线AC到平面PBD的距离， 设C到平面PBD的距离为d，则由V1C?PBD?VP?BCD，得
3S1?PBD?d?3S?BCD?h， 可得
13?712212d?3?1?4?1，∴d?7， ∴直线AC到平面PBD的距离为2217．
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 阅读：
已知a,b??0,???，a?b?1，求y?1a?2b的最小值. 解法如下：y?12?12?ba?b???a?b???a?b??a?2ab?3?3?22， 当且仅当b2aa?b，即a?2?1,b?2?2时取到等号， 则y?1a?2b的最小值为3?22. 应用上述解法，求解下列问题： （1）已知a,b,c??0,???，a?b?c?1，求y?1a?1b?1c的最小值； （2）已知x????0,1?2??，求函数y?1x?81?2x的最小值；
（3）已知正数a1,a2,a3,L,an，a1?a2?a3?L?an?1，
a2222求证：S?1a?a2?a3?L?an?1.
1?a2a2?a3a3?a4an?a12解（1）y?1a?1b?1c???1?a?1b?1?c???a?b?c??3???bacacb??a?b?a?c?b?c??， 而ba?ab?ca?ac?cb?bc?6，当且仅当a?b?c?13时取到等号，则y?9， 即y?1a?1b?1c的最小值为9. （2）y?22x?81?2x???2?2x?8?1?2x????2x?1?2x??10?2?1?2x2x?8?2x1?2x， 而x???1??0,2??，2?1?2x2x?8?2x1?2x?216?8， 当且仅当2?1?2x2x2x?8?1?2x，即x?16???1??0,2??时取到等号，则y?18， 所以函数y?18x?1?2x的最小值为18. ）2S???a222（31a2an??a??L?????a1?a2???a2?a3??L??an?1?a2aa1???
2?a3an?a1??a2222??a2?a2?L?a21a2ana?12n????a??a12?a3??1?a2aa??a1?a2??L??a??a1?a2????an?a1??2?3an1a1?a2???a2221?a2?L?an???2a1a2?2a2a3?L?2ana1???a1?a2?L?a2n??1
当且仅当a11?a2?L?an时取到等号，则S?1n?2. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若
a1b1a?b，22则我们称椭圆Ex21与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E:2?y2?1，其左顶点为A、右顶点为B． （1）设椭圆E与椭圆F:x2s?y22?1是“相似椭圆”，求常数s的值； （2）设椭圆G:x22?y2???0???1?，过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当?为何值时k1?k2取得最小值，并求其最小值；
（3）已知椭圆E与椭圆H:x2y22?t?1?t?2?是相似椭圆．椭圆H上异于A,B的任意一点C?x0,y0?，求证：?ABC的垂心M在椭圆E上．
解：（1）显然椭圆E的方程为x2?y22?1， 由椭圆E与F相似易得：
当s?2时，21s?2?s?4；
当0?s?2时，212?s?s?1．
上海市金山中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学试卷
