14.3因式分解(公式法)
知识点一：因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 知识点二：基本公式
1、(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)； 2、(a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)； 3、(a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)； 4、(a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 5、a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)； 6、a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)； 知识点三：方法及典型例题
一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：
（1）x2-9； （2）9x2-6x+1。
二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。 例2、 分解因式：
（1）x5y3-x3y5； （2）4x3y+4x2y2+xy3。
三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调
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22整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、 分解因式：
(1)4x2-25y2; (2)4x2-12xy2+9y4. 四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、 分解因式: (1)x4-81y4; (2)16x4-72x2y2+81y4.
五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
例5、 分解因式： （1）-x2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y). 六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。
例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1). 七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。
例7、 分解因式：(x2+4)2-16x2. 随堂练习 1、多项式?x?4xy?4y分解因式的结果是（ ） (A)(x?2y)
222 (B)?(x?2y) (C)(?x?2y)
22
(D)(x?y)
22、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）
(A)x?y (B)x?2xy?y (C)x?2xy?y (D)x?xy?y 3、 x?1的结果为（ ）
Ａ．(x?1)(x?1)Ｂ．(x?1)(x?1)Ｃ．(x?1)(x?1)(x?1)Ｄ．(x?1)(x?1) 4、代数式x?81，x?9，x?6x?9的公因式为（ ） Ａ．x?3 2422222223222222224
12、把下列各式分解因式．
（1）a?8a?16； 2 （2）(a?2b)?6(a?2b)?9；（3）
22212x?2xy?2y2； 2 13、已知a?b? （4）?4mn?4m?n．
Ｂ．(x?3) 22 Ｃ．x?3 Ｄ．x?9 2112233求?2ab?ab?ab的值． ，ab?，285、25a?kab?16a是一个完全平方式，那么k之值为（ ） Ａ．40 2Ｂ．?40 Ｃ．20 2 Ｄ．?20 14、把下列各式分解因式． （1）x?6x?9； （2）4x?20x?25； （3）ab?8abc?16c；（4）4a?2ab?2222226、填空： m?mn? ?( )． 7、利用因式分解计算100? ． 992?198?1212b； （5）(a?b)2?4(a?b)?4． 48、 分解因式：4x?1? ．分解因式： 15、把下列各式分解因式． （1）(m?n)2 004a2?4? ． 1812?6129、（1）运用公式法计算：．（2）用简便方法计算：22301?181228002?1600×798?7982．10、 分解因式：（1）ax?16ax?64 ?16(m?n)2 003； （2）(x2?y2)2?4x2y2． 16、把
(x?1)(x?3)?1分解因式． 专项测试题 一、选择题 1、代数式x4－81,x2－9,x2－6x＋9的公因式为（ ）
A、x+3 B、（x+3）2 C、x－3 D、x2+9 2、若9x2－mxy＋16y2是一个完全平方式，则m=（ ）
A、12 B、24 C、±12 D、±24 3、若－
（2）16?(2a?3b)
11、把下列各式分解因式．
24x?169y；49?x2；?1?25a2；0.01m2?625n2．（1） （2） （3） （4）
22121x?ax?b分解成?(x?4)(x?7)，则a、b的值为（ ） 22
33A、3或28 B、3和－28 C、－和14 D、－和－14
224、下列变形是因式分解的是（ ）
A、x2+x－1=（x+1）（x－1）+x, B、（3a2－b2）2=9a4－6a2b2＋b4 C、x4－1=（x2+1）（x+1）（x－1）, D、3x2+3x=3x2（1+1） x5、若81－k x4=（9+ 4x2）（3+2x）（3－2x）,则k的值为（ ） A、1 B、4 C、8 D、16 6、下列多项式不能用完全平方公式分解的是（ ） 17、（a2+b2）2－4a2b2分解因式结果是 。 18、x(x+y)(x－y)－y(y+x)(y－x)=(x－y)( )。 19、观察下列各式：x2－1=（x+1）（x－1），（x3－1）=（x－1）（x2+x+1）， x4－1=（x－1）（x3+ x2+1+x），根据前面的规律可得xn－1= 。 20、请写出一个三项式，使它能提取公因式，再运用公式来分解，你编写的三项式是 。分解的结果是 。 三、把下列各式因式分解 21、16 x2－b2 22、4mn2－4m2n－n3 23、（x2+x+1）（x2+x）+ 24、x4－12x2+36 四、利用分解因式进行简便运算 25、已知2a－b=3,求－8a2+8ab－2b2 的值。 1 412A、a2+ab＋b2 B、a2－6a＋36 931 C、－4x2+12xy－9y2 D、x2+x＋ 47、在有理数范围内把y9－y分解因式，设结果中因式的个数为n,则n=（ ）， A、3， B、4 C、5 D、6 8、下列多项式不含因式a+b的是（ ） A、a2－2ab＋b2 B、a2－b2 C、a2+b2 D、（a+b）4 9、下列分解因式错误的是（ ） A、4x2－12xy+9y2=（2x+3y）2,B、3x2y+6xy2+3y3=3y（x2+2xy+y2）=3y（x+y）2 C、5x2－125y4=5（x－y2）（x+y2） D、－81x2+y2=－（9x－y）（9x+y） 10、下列分解因式正确的是（ ） A、（x－3）2－y2=x2－6x+9－y2, B、a2－9b2=（a+9b）（a－9b） C、4x6－1=（2x3+1）（2x3－1）, D、2xy－x2－y2=（x－y）2 二、填空题
11、已知：x2－6x+k可分解为只关于x－3的因式，则k的值为 。 12、（m+n）2－4（m+n－1）= 。 13、若 x2－6xy+9y2=0，则
2102?2101133223 26、已知x+y=,xy=,求xy＋2xy+xy的值。27、计算：98
82?299228、已知x2+y2+2x－6y+10=0，求x、y的值。 29、已知多项式ax2+bx+1可分解为一个一次多项式的平方的的形式， （1） 请你写出一组满足条件a、b的整数值。 （2） 猜想出a、b之间的关系，并表示出来。 30、观察下列等式 12－02=1 22－12=3 32－22=5 42－32=7 …………
（1） 根据以上计算，你发现了什么规律，请用含有n的式子表示该规律。 （2） 用因式分解的知识证明你发现的规律。
31、已知矩形的周长为28cm，两边长为x、y，且x、y满足x2（x+y）－y2（x+y）=0，求该矩形的面积。
x?3 的值为 。 y?114、已知：x2+4xy=3，2xy+9y2=1。则x+3y的值为 。
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15、xm－xm4分解因式的结果是 。 16、若y2－8y+m－1是完全平方式，则m= 。
因式分解公式法
