一、极值点偏移的含义
众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量x都有f(x)?f(2m?x)，则函数f(x)关于直线x?m对称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则x?m必为
f(x)的极值点. 如二次函数f(x)的顶点就是极值点x0，若f(x)?c的两根的中点为
x1?x2，则刚好有2x1?x2?x0，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 2
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m，且函数f(x)满足定义域内x?m左侧的任意自变量x都有f(x)?f(2m?x)或f(x)?f(2m?x)，则函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同. 故单峰函数f(x)定义域内任意不同的实数x1,x2满足f(x1)?f(x2)，则定的大小关系：
x1?x2与极值点m必有确2x1?x2x?x2，则称为极值点左偏；若m?1，则称为极值点右偏. 22xx?x2如函数g(x)?x的极值点x0?1刚好在方程g(x)?c的两根中点1的左边，我们称之为极值点左
e2若m?[来源学_科_网Z_X_X_K]偏.
二、极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2，求证：x1?x2?2x0（x0为函数f(x)的极值点）； 2. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2)，求证：x1?x2?2x0（x0为函数f(x)的极值点）；
x1?x2，求证：f'(x0)?0； 2x?x24. 若函数f(x)中存在x1,x2且x1?x2满足f(x1)?f(x2)，令x0?1，求证：f'(x0)?0.
23. 若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1?x2，令x0?三、新题展示
【2019江苏无锡高三上学期期末】已知函数 f(x) =
－ax(a > 0).
(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立； (2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证：【答案】（1）见解析； （2）见解析.
< ln a.
（2）∵函数y＝f（x）恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值 ∴x1，x2是方程f′（x）＝0的两个实数根，不妨设x1＜x2，∵f′（x）＝ex﹣ax﹣a，f″（x）＝ex﹣a，
当a≤0时，f″（x）＞0恒成立，∴f′（x）单调递增，f′（x）＝0至多有一个实数解，不符合题意， 当a＞0时，f″（x）＜0的解集为（﹣∞，lna），f″（x）＞0的解集为（lna，+∞）， ∴f′（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， ∴f′（x）min＝f′（lna）＝﹣alna，
由题意，应有f′（lna）＝﹣alna＜0，解得a＞1，
[来源:学_科_网]
此时f′（﹣1）0，
∴存在x1∈（﹣1，lna）使得f′（x1）＝0， 易知当
时，f(x)
.
）使得f′（x2）＝0，
∴存在x2∈（lna，∴a＞1满足题意，
设g（t）＝（2t﹣et）et+1， ∴g′（t）＝2（t+1﹣et）et，
由（1）可知，g′（t）＝2（t+1﹣et）et＜0恒成立， ∴g（t）单调递减， ∴g（t）＜g（0）＝0， 即f″（
）＜0，
∴
∴lna．
四、问题初现，形神合聚
[来源:学五、★函数f(x)?x?2x?1?ae有两极值点x1,x2，且x1?x2.
2x
专题1.1 初识极值点偏移-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)(解析版)
