2000考研数一真题及答案
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1)
?102x?x2dx?
222(2) 曲面x?2y?3z?21在点?1, -2, 2?的法线方程为 (3) 微分方程xy\?3y'?0的通解为
1??x1??1??12??????(4) 已知方程组23a?2x2?3无解，则a? ????????1a?2????x3????0??(5) 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为生A不发生的概率相等，则P(A) =
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0,则当a?x?b 时，有 ( )
(A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B) f(x)g(a)?f(a)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b) (D) f(x)g(x)?f(a)g(a)
2222(2) 设S:x?y?z?a(z?0),S1为S在第一卦限中的部分，则有 ( )
1 , A发生B不发生的概率与B发9(A)(C)
??xdS?4??xdS (B)??ydS?4??xdS
SS1SS1??zdS?4??xdS (D)??xyzdS?4??xyzdS
SS1SS1(3) 设级数
?un?1?n收敛，则必收敛的级数为 ( )
??un2. (B)?un. (C)?(u2n?1?u2n). (A)???1?nn?1n?1n?1n??(D)
?(un?1n?un?1).
(4) 设n维列向量组?1,???,?m(m?n)线性无关，则n维列向量组?1,???,?m线性无关的充
分必要条件为 ( )
(A) 向量组?1,???,?m可由向量组?1,???,?m线性表示. (B) 向量组?1,???,?m可由向量组?1,???,?m线性表示. (C) 向量组?1,???,?m与向量组?1,???,?m等价. (D) 矩阵A???1,???,?m?与矩阵B???1,???,?m?等价.
(5) 设二维随机变量?X ,Y?服从二维正态分布，则随机变量??X?Y与??X?Y不相关的充分必要条件为 ( )
(A) E(X)?E(Y). (B) E(X)??E(X)??E(Y)??E(Y)?.
2222(C) E(X)?E(Y). (D) E(X)??E(X)??E(Y)??E(Y)?.
222222
三、(本题满分5分)
1??x2?esinx?. 求lim??4x?0?x??1?ex???四、(本题满分6分)
?x??x??2z. 设z?f?xy,??g??,其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求?x?y?y??y?五、(本题满分6分)
计算曲线积分I??Lxdy?ydx,其中L是以点?1,0?为中心， R为半径的圆周?R >1?，
4x2?y2取逆时针方向.
六、(本题满分7分)
设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S, 都有
??Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,
其中函数f(x)在(0, +?)内具有连续的一阶导数，且limf(x)?1,= 求f(x). ?x?0七、(本题满分6分)
1xn求幂级数?n的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性. n3?(?2)nn?1?八、(本题满分7分)
设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点
到P0距离的平方成正比(比例常数k?0)，求球体的重心位置. 九、(本题满分6分)
设函数f(x)在?0,??上连续，且
??0f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0,试证：在(0,?)内
0?至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0. 十、(本题满分6 分)
?10?01*设矩阵A的伴随矩阵A???10??0?3位矩阵，求矩阵B.
十一、(本题满分8分)
00?00??,且ABA?1?BA?1?3E,其中E为4 阶单10??08?某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将
1熟练工支援其6他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
2成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn,yn记成向5?x??x??x??xn??x?量?n?. (1) 求?n?1?与??的关系式并写成矩阵形式：?n?1??A?n?;
?yn?1??yn??yn?1??yn??yn?(2) 验证?1???,?2???4??1???1??是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； ?1??1??x?2?时，求?n?1?. (3) 当?x1????????yn?1??y1??1??2???十二、(本题满分8分)
某流水生产线上每个产品不合格的概率为p?0?p?1?,各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X , 求
X的数学期望E?X?和方差D?X?.
十三、(本题满分8分)
?2e?2(x??),x??设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x;?)??
0, x???其中??0为未知参数，又设x1,x2,???,xn是X的一组样本观测值，求参数?的最大似然估
计值.
参考答案
2000考研数一真题及答案
