∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC
而OB＝OC ∴∠OBC＝∠C ∴∠AOP＝∠POB 在△AOP和△BOP中
∴△AOP≌△BOP ∴∠OBP＝∠OAP
∵PA为⊙O的切线 ∴∠OAP＝90o ∴∠OBP＝90o ∴PB是⊙O的切线 …………3′
8．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，求∠DOR的度数。
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质．
【分析】根据等边三角形和正方形的性质，求得中心角∠POR和∠POD，二者的差就是所求． 【解答】解：连结OD，如图， ∵△PQR是⊙O的内接正三角形， ∴PQ=PR=QR，
∴∠POR=×360°=120°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠AOD=90°，
11
∴∠DOP=×90°=45°， ∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
8．（2019遂宁中考 第24题 10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6． （1）求证：∠COD＝∠BAC； （2）求⊙O的半径OC； （3）求证：CF是⊙O的切线．
【解答】解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，
∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC， ∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；
（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD， ∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2， ∴x＝（负值舍去），
12
＝，∴设OE＝x，OC＝3x，
∴OC＝3x＝，
；
∴⊙O的半径OC为（3）∵DF＝2OD，
∴OF＝3OD＝3OC， ∴
，
∵∠COE＝∠FOC， ∴△COE∽△FOE， ∴∠OCF＝∠DEC＝90° ∴CF是⊙O的切线．
9．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．
【解析】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°. 又∵∠A＝∠DEB，
∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC， ∴∠DBC＋∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°， ∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵BF＝BC＝2且∠ADB＝90°，
13
1
∴∠CBD＝∠FBD.又∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBD＝∠OEB＝∠OBE＝∠31
ABC＝×90°＝30°，∴∠A＝30°，∴AC＝2CB＝4，∴由勾股定理求得AB＝
3
∴⊙O的半径为3，连接OD，
π
AC2－BC2＝23，
33
∴阴影部分面积为S扇形OBD－S△OBD＝－.
24
10．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
【考点】切线的判定；等边三角形的性质．
【分析】（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可． 【解析】（1）证明：如图1，连接OD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°． ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠B=60°． ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90°．
14
∴∠EDC=30°． ∴∠ODE=90°． ∴DE⊥OD于点D． ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，BF， ∵AB为⊙O直径， ∴∠AFB=∠ADB=90°． ∴AF⊥BF，AD⊥BD． ∵△ABC是等边三角形， ∴
，
．
∵∠EDC=30°， ∴
．
∴FE=FC﹣EC=1．
【点评】本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
15
2020年中考数学一轮专项复习——圆的综合问题(含详细解答)
